Dérivation — règles et exemples

La dérivation consiste à trouver une dérivée. Une dérivée indique à quelle vitesse une fonction varie en un point ; en calcul différentiel, elle sert donc à étudier la pente et le taux de variation.

Le moyen le plus rapide de choisir la bonne règle est d’abord de regarder la structure. L’expression est-elle une puissance comme $x^5$, une somme comme $x^3 + 2x$, un produit comme $x^2 e^x$, ou une fonction à l’intérieur d’une autre comme $(3x+1)^4$ ? La règle de dérivation dépend de cette structure.

Quelle règle de dérivation faut-il utiliser ?

Commencez par la forme la plus extérieure de l’expression.

• Si l’expression est une seule puissance de $x$, utilisez la règle de la puissance.
• Si des termes sont additionnés ou soustraits, dérivez terme à terme.
• Si deux expressions variables sont multipliées, utilisez la règle du produit.
• Si une expression variable est divisée par une autre, utilisez la règle du quotient.
• Si une fonction est à l’intérieur d’une autre, utilisez la règle de la chaîne.

Dans beaucoup d’exercices, on utilise plus d’une règle. Dans ce cas, choisissez d’abord la règle qui correspond à la structure extérieure.

Principales règles de dérivation

Règle de la constante

Si $c$ est une constante, alors :

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

Un nombre fixe ne change pas lorsque $x$ change.

Règle de la puissance

Si $n$ est un nombre réel, alors :

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Exemple : $\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$.

Règle du multiple constant

Si $c$ est constant et $f$ est dérivable, alors :

$$\frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x)$$

La constante reste devant.

Règle de la somme et de la différence

Si $f$ et $g$ sont dérivables, alors :

$$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$

Dérivez chaque terme séparément, puis conservez le même signe plus ou moins.

Règle du produit

Si $f$ et $g$ sont dérivables, alors :

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Utilisez cette règle lorsque les deux facteurs dépendent de $x$.

Règle du quotient

Si $f$ et $g$ sont dérivables et $g(x) \ne 0$, alors :

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

La condition $g(x) \ne 0$ est importante, car la division par zéro n’est pas définie.

Règle de la chaîne

Si $y = f(g(x))$, et que les deux fonctions sont dérivables là où il le faut, alors :

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Utilisez cette règle lorsqu’une fonction est imbriquée dans une autre.

Pourquoi la structure compte en dérivation

Les règles de dérivation sont des raccourcis pour des formes d’expressions courantes. Si l’expression est simple, une seule règle suffit souvent. Si elle est construite à partir de plusieurs parties, il faut combiner les règles.

C’est pour cela que les élèves font souvent des erreurs avant même de commencer à dériver. La compétence principale n’est pas d’abord l’algèbre. C’est de reconnaître la structure extérieure avant de calculer quoi que ce soit.

Exemple de dérivation : règle du produit et règle de la chaîne ensemble

Trouvez la dérivée de :

$$y = x^2(3x+1)^4$$

La structure extérieure est un produit, donc on commence par la règle du produit. Posons :

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

Alors :

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Dérivez le premier facteur :

$$f'(x) = 2x$$

Dérivez maintenant $g(x) = (3x+1)^4$. Cela nécessite la règle de la chaîne, car l’expression intérieure est $3x+1$, et pas seulement $x$ :

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

Remplacez par les deux résultats :

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

C’est déjà une dérivée correcte. Si vous voulez une forme factorisée :

$$y' = 2x(3x+1)^3[(3x+1) + 6x]$$ $$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

L’étape importante n’est pas la factorisation. C’est de remarquer que l’expression entière est un produit, tandis qu’un des facteurs nécessite aussi la règle de la chaîne.

Erreurs fréquentes en dérivation

1. Utiliser la règle de la puissance sur toute l’expression alors que la fonction est en réalité un produit ou un quotient.
2. Oublier la dérivée intérieure dans la règle de la chaîne. Pour $(3x+1)^4$, la dérivée complète est $4(3x+1)^3 \cdot 3$.
3. Dériver un produit en multipliant les dérivées. En général, $[f(x)g(x)]' \ne f'(x)g'(x)$.
4. Perdre de vue les conditions. La règle du quotient exige que le dénominateur soit non nul.

Quand utilise-t-on les règles de dérivation ?

Les règles de dérivation apparaissent partout où une grandeur varie par rapport à une autre. En calcul différentiel, elles servent à étudier les pentes des tangentes, l’optimisation et le tracé des courbes.

En physique, les dérivées décrivent des grandeurs comme la vitesse et l’accélération. En économie ou en ingénierie, elles sont utilisées lorsqu’on a besoin d’une variation marginale ou d’un taux de variation.

Essayez un problème de dérivation similaire

Dérivez $y = (x^3 + 1)(2x - 5)^2$ et déterminez quelle règle s’applique en premier. S’il manque dans votre réponse deux termes de la règle du produit ou la dérivée intérieure de $(2x - 5)^2$, revenez en arrière et vérifiez la structure extérieure avant de simplifier.