Números enteros — reglas de operaciones y recta numérica

Los números enteros son los números naturales positivos, los números naturales negativos y $0$: $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$. No incluyen fracciones ni decimales.

Si quieres las reglas rápidas, empieza con dos ideas. En la recta numérica, el signo indica la dirección desde $0$ y el valor indica la distancia a $0$. Para la multiplicación y la división, signos iguales dan un resultado positivo y signos diferentes dan un resultado negativo.

Qué significan los números enteros en una recta numérica

La recta numérica hace que los números enteros sean más fáciles de interpretar. Los enteros positivos están a la derecha de $0$, los enteros negativos están a la izquierda, y los números más alejados de $0$ tienen mayor distancia al cero.

Por ejemplo, $4$ está a cuatro unidades a la derecha de $0$, mientras que $-4$ está a cuatro unidades a la izquierda. Tienen la misma distancia al cero, pero direcciones opuestas.

Por eso los números enteros son útiles para representar ganancias y pérdidas, temperaturas por encima o por debajo de cero, altitud y posición horizontal.

Reglas de los números enteros para suma, resta, multiplicación y división

Para la suma y la resta, piensa en términos de movimiento sobre la recta numérica:

• Sumar un entero positivo mueve a la derecha.
• Sumar un entero negativo mueve a la izquierda.
• Restar un entero significa sumar su opuesto.

Ejemplo:

$$5 - 8 = 5 + (-8) = -3$$

Para la multiplicación y la división, usa la regla de los signos:

• Signos iguales dan un resultado positivo.
• Signos diferentes dan un resultado negativo.

$$(-3)(4) = -12$$ $$(-3)(-4) = 12$$ $$12 \div (-3) = -4$$

Aquí importa una condición. La división entre $0$ no está definida, y dividir entre un entero distinto de cero no siempre se mantiene dentro de los enteros. Por ejemplo,

$$7 \div 2 = 3.5$$

El cociente es un número real, pero no es un número entero.

Ejemplo resuelto: evalúa $-2 + 7 - 4$

Usa la idea de la recta numérica paso a paso:

$$-2 + 7 - 4$$

Empieza en $-2$. Sumar $7$ significa moverse $7$ unidades a la derecha:

$$-2 + 7 = 5$$

Ahora resta $4$. Eso significa moverse $4$ unidades a la izquierda:

$$5 - 4 = 1$$

Entonces

$$-2 + 7 - 4 = 1$$

Este es el patrón principal para la suma y la resta de enteros: interpreta el signo como dirección y luego sigue el movimiento.

Errores comunes en las operaciones con números enteros

Confundir números enteros con números naturales

Los números naturales incluyen $0, 1, 2, 3, \ldots$, pero los enteros también incluyen sus versiones negativas. Así que $-5$ es un número entero, pero no es un número natural.

Olvidar que la resta cambia la dirección

En $3 - (-2)$, estás restando un número negativo, lo que significa sumar un número positivo:

$$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$

Suponer que la división siempre da un entero

Los números enteros son cerrados bajo suma, resta y multiplicación, pero no bajo división. Eso significa que dividir dos enteros puede dar un valor que no es un entero.

Cuándo se usan los números enteros

Los números enteros aparecen en aritmética, planos cartesianos, álgebra, contabilidad, temperaturas, altitudes e informática. A menudo son el primer sistema numérico en el que importa la dirección, no solo el tamaño.

Una vez que los enteros se sienten naturales en la recta numérica, temas posteriores como el valor absoluto, las desigualdades y las expresiones algebraicas se vuelven mucho más fáciles de interpretar.

Prueba tu propia versión

Prueba estos en tu propia recta numérica: $-6 + 9$, $4 - 11$ y $(-5)(-2)$. Si quieres comprobar una expresión más larga después de hacerla a mano, prueba tu propia versión en un solucionador y compara cada cambio de signo.