Ακέραιοι αριθμοί — Κανόνες πράξεων και άξονας αριθμών

Οι ακέραιοι αριθμοί είναι οι θετικοί φυσικοί αριθμοί, οι αρνητικοί φυσικοί αριθμοί και το $0$: $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$. Δεν περιλαμβάνουν κλάσματα ή δεκαδικούς αριθμούς.

Αν θέλεις τους βασικούς κανόνες γρήγορα, ξεκίνα με δύο ιδέες. Στον άξονα αριθμών, το πρόσημο δείχνει την κατεύθυνση από το $0$ και το μέτρο δείχνει την απόσταση από το $0$. Στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, ίδια πρόσημα δίνουν θετικό αποτέλεσμα και διαφορετικά πρόσημα δίνουν αρνητικό αποτέλεσμα.

Τι σημαίνουν οι ακέραιοι στον άξονα αριθμών

Ο άξονας αριθμών κάνει τους ακεραίους πιο εύκολους στην κατανόηση. Οι θετικοί ακέραιοι βρίσκονται δεξιά του $0$, οι αρνητικοί αριστερά, και οι αριθμοί που είναι πιο μακριά από το $0$ έχουν μεγαλύτερη απόσταση από το μηδέν.

Για παράδειγμα, το $4$ είναι τέσσερις μονάδες δεξιά του $0$, ενώ το $-4$ είναι τέσσερις μονάδες αριστερά. Έχουν την ίδια απόσταση από το μηδέν αλλά αντίθετη κατεύθυνση.

Γι’ αυτό οι ακέραιοι είναι χρήσιμοι για κέρδος και ζημία, θερμοκρασία πάνω ή κάτω από το μηδέν, υψόμετρο και οριζόντια θέση.

Κανόνες ακεραίων για πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση

Για την πρόσθεση και την αφαίρεση, σκέψου με όρους μετακίνησης πάνω στον άξονα αριθμών:

• Η πρόσθεση θετικού ακεραίου σημαίνει μετακίνηση προς τα δεξιά.
• Η πρόσθεση αρνητικού ακεραίου σημαίνει μετακίνηση προς τα αριστερά.
• Η αφαίρεση ενός ακεραίου σημαίνει πρόσθεση του αντίθετού του.

Παράδειγμα:

$$5 - 8 = 5 + (-8) = -3$$

Για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, χρησιμοποίησε τον κανόνα προσήμων:

• Ίδια πρόσημα δίνουν θετικό αποτέλεσμα.
• Διαφορετικά πρόσημα δίνουν αρνητικό αποτέλεσμα.

$$(-3)(4) = -12$$ $$(-3)(-4) = 12$$ $$12 \div (-3) = -4$$

Εδώ υπάρχει μία σημαντική προϋπόθεση. Η διαίρεση με το $0$ δεν ορίζεται, και η διαίρεση με έναν μη μηδενικό ακέραιο δεν παραμένει πάντα μέσα στους ακεραίους. Για παράδειγμα,

$$7 \div 2 = 3.5$$

Το πηλίκο είναι πραγματικός αριθμός, αλλά δεν είναι ακέραιος.

Λυμένο παράδειγμα: Υπολόγισε $-2 + 7 - 4$

Χρησιμοποίησε την ιδέα του άξονα αριθμών βήμα βήμα:

$$-2 + 7 - 4$$

Ξεκίνα από το $-2$. Η πρόσθεση του $7$ σημαίνει ότι μετακινείσαι $7$ μονάδες προς τα δεξιά:

$$-2 + 7 = 5$$

Τώρα αφαίρεσε $4$. Αυτό σημαίνει ότι μετακινείσαι $4$ μονάδες προς τα αριστερά:

$$5 - 4 = 1$$

Άρα

$$-2 + 7 - 4 = 1$$

Αυτό είναι το βασικό μοτίβο στην πρόσθεση και αφαίρεση ακεραίων: διάβασε το πρόσημο ως κατεύθυνση και μετά παρακολούθησε τη μετακίνηση.

Συνηθισμένα λάθη στις πράξεις με ακεραίους

Μπέρδεμα ανάμεσα σε ακεραίους και φυσικούς αριθμούς

Οι φυσικοί αριθμοί περιλαμβάνουν το $0, 1, 2, 3, \ldots$, αλλά οι ακέραιοι περιλαμβάνουν και τις αρνητικές τους τιμές. Άρα το $-5$ είναι ακέραιος, αλλά δεν είναι φυσικός αριθμός.

Ξεχνάς ότι η αφαίρεση αλλάζει κατεύθυνση

Στο $3 - (-2)$, αφαιρείς έναν αρνητικό αριθμό, που σημαίνει ότι προσθέτεις έναν θετικό:

$$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$

Υποθέτεις ότι η διαίρεση δίνει πάντα ακέραιο

Οι ακέραιοι είναι κλειστοί ως προς την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό, αλλά όχι ως προς τη διαίρεση. Αυτό σημαίνει ότι η διαίρεση δύο ακεραίων μπορεί να δώσει τιμή που δεν είναι ακέραιος.

Πού χρησιμοποιούνται οι ακέραιοι

Οι ακέραιοι εμφανίζονται στην αριθμητική, στα συστήματα συντεταγμένων, στην άλγεβρα, στη λογιστική, στις θερμοκρασίες, στα υψόμετρα και στην επιστήμη υπολογιστών. Συχνά είναι το πρώτο αριθμητικό σύστημα όπου έχει σημασία η κατεύθυνση, όχι μόνο το μέγεθος.

Μόλις οι ακέραιοι γίνουν φυσικοί πάνω στον άξονα αριθμών, μεταγενέστερα θέματα όπως η απόλυτη τιμή, οι ανισότητες και οι αλγεβρικές παραστάσεις γίνονται πολύ πιο εύκολα στην κατανόηση.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Δοκίμασε αυτά στον δικό σου άξονα αριθμών: $-6 + 9$, $4 - 11$ και $(-5)(-2)$. Αν θέλεις να ελέγξεις μια μεγαλύτερη παράσταση αφού την κάνεις πρώτα με το χέρι, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή σε έναν επιλύτη και σύγκρινε κάθε αλλαγή προσήμου.