Số nguyên — Quy tắc phép toán và trục số

Số nguyên là các số nguyên dương, các số nguyên âm và $0$: $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$. Chúng không bao gồm phân số hoặc số thập phân.

Nếu bạn muốn nắm nhanh các quy tắc, hãy bắt đầu với hai ý. Trên trục số, dấu cho biết hướng tính từ $0$ và độ lớn cho biết khoảng cách đến $0$. Với phép nhân và phép chia, cùng dấu thì kết quả dương, khác dấu thì kết quả âm.

Ý nghĩa của số nguyên trên trục số

Trục số giúp việc đọc số nguyên trở nên dễ hơn. Các số nguyên dương nằm bên phải $0$, các số nguyên âm nằm bên trái, và những số ở xa $0$ hơn thì có khoảng cách đến số không lớn hơn.

Ví dụ, $4$ nằm cách $0$ bốn đơn vị về bên phải, còn $-4$ nằm cách $0$ bốn đơn vị về bên trái. Chúng có cùng khoảng cách đến số không nhưng ngược hướng nhau.

Đó là lý do số nguyên hữu ích khi biểu diễn lãi và lỗ, nhiệt độ trên hoặc dưới $0$, độ cao và vị trí theo phương ngang.

Quy tắc số nguyên cho phép cộng, trừ, nhân và chia

Với phép cộng và phép trừ, hãy nghĩ theo sự di chuyển trên trục số:

• Cộng một số nguyên dương thì di chuyển sang phải.
• Cộng một số nguyên âm thì di chuyển sang trái.
• Trừ một số nguyên nghĩa là cộng với số đối của nó.

Ví dụ:

$$5 - 8 = 5 + (-8) = -3$$

Với phép nhân và phép chia, dùng quy tắc dấu:

• Cùng dấu thì kết quả dương.
• Khác dấu thì kết quả âm.

$$(-3)(4) = -12$$ $$(-3)(-4) = 12$$ $$12 \div (-3) = -4$$

Có một điều kiện quan trọng ở đây. Phép chia cho $0$ là không xác định, và chia cho một số nguyên khác không không phải lúc nào cũng vẫn nằm trong tập số nguyên. Ví dụ,

$$7 \div 2 = 3.5$$

Thương là một số thực, nhưng không phải là số nguyên.

Ví dụ có lời giải: Tính $-2 + 7 - 4$

Dùng ý tưởng trục số từng bước một:

$$-2 + 7 - 4$$

Bắt đầu tại $-2$. Cộng $7$ nghĩa là di chuyển $7$ đơn vị sang phải:

$$-2 + 7 = 5$$

Bây giờ trừ $4$. Điều đó nghĩa là di chuyển $4$ đơn vị sang trái:

$$5 - 4 = 1$$

Vậy

$$-2 + 7 - 4 = 1$$

Đây là quy luật chính của phép cộng và phép trừ số nguyên: đọc dấu như hướng di chuyển, rồi theo dõi sự dịch chuyển.

Những lỗi thường gặp khi thực hiện phép toán với số nguyên

Nhầm lẫn giữa số nguyên và số tự nhiên

Số tự nhiên gồm $0, 1, 2, 3, \ldots$, nhưng số nguyên còn bao gồm cả các số âm tương ứng. Vì vậy $-5$ là một số nguyên, nhưng không phải là số tự nhiên.

Quên rằng phép trừ làm đổi hướng

Trong $3 - (-2)$, bạn đang trừ một số âm, tức là cộng một số dương:

$$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$

Cho rằng phép chia luôn cho ra số nguyên

Tập số nguyên đóng với phép cộng, phép trừ và phép nhân, nhưng không đóng với phép chia. Điều đó có nghĩa là chia hai số nguyên có thể cho ra một giá trị không phải là số nguyên.

Khi nào số nguyên được sử dụng

Số nguyên xuất hiện trong số học, đồ thị tọa độ, đại số, kế toán, nhiệt độ, độ cao và khoa học máy tính. Chúng thường là hệ thống số đầu tiên mà hướng trở nên quan trọng, không chỉ là độ lớn.

Khi bạn đã thấy số nguyên trở nên tự nhiên trên trục số, các chủ đề sau như giá trị tuyệt đối, bất đẳng thức và biểu thức đại số sẽ dễ đọc hơn nhiều.

Tự thử một phiên bản của bạn

Hãy thử các phép tính này trên trục số của riêng bạn: $-6 + 9$, $4 - 11$, và $(-5)(-2)$. Nếu muốn kiểm tra một biểu thức dài hơn sau khi tự làm bằng tay, hãy thử phiên bản của bạn trong một công cụ giải và so sánh từng lần đổi dấu.