Tam Sayılar — İşlem Kuralları ve Sayı Doğrusu

Tam sayılar; pozitif doğal sayılar, negatif tam sayılar ve $0$'dır: $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$. Kesirleri veya ondalıklı sayıları içermezler.

Hızlı kuralları istiyorsanız, iki fikirle başlayın. Sayı doğrusunda işaret, $0$'a göre yönü; büyüklük ise $0$'a olan uzaklığı gösterir. Çarpma ve bölmede aynı işaretler pozitif, farklı işaretler negatif sonuç verir.

Tam Sayılar Sayı Doğrusunda Ne Anlama Gelir?

Sayı doğrusu, tam sayıları anlamayı kolaylaştırır. Pozitif tam sayılar $0$'ın sağında, negatif tam sayılar solundadır ve $0$'dan daha uzakta olan sayıların sıfıra uzaklığı daha büyüktür.

Örneğin, $4$ sayısı $0$'ın dört birim sağındayken, $-4$ sayısı dört birim solundadır. Sıfıra uzaklıkları aynıdır ama yönleri zıttır.

Bu yüzden tam sayılar; kâr ve zarar, sıfırın üstündeki veya altındaki sıcaklık, yükseklik ve yatay konum gibi durumlarda kullanışlıdır.

Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölmede Tam Sayı Kuralları

Toplama ve çıkarmada, sayı doğrusundaki hareketi düşünün:

• Pozitif bir tam sayı eklemek sağa gitmektir.
• Negatif bir tam sayı eklemek sola gitmektir.
• Bir tam sayıyı çıkarmak, onun karşıtını eklemek demektir.

Örnek:

$$5 - 8 = 5 + (-8) = -3$$

Çarpma ve bölmede işaret kuralını kullanın:

• Aynı işaretler pozitif sonuç verir.
• Farklı işaretler negatif sonuç verir.

$$(-3)(4) = -12$$ $$(-3)(-4) = 12$$ $$12 \div (-3) = -4$$

Burada önemli bir durum vardır. $0$'a bölme tanımsızdır ve sıfırdan farklı bir tam sayıya bölme her zaman tam sayılar içinde kalmaz. Örneğin,

$$7 \div 2 = 3.5$$

Bölüm bir reel sayıdır, ama bir tam sayı değildir.

Çözümlü Örnek: $-2 + 7 - 4$ İşlemini Hesaplayın

Sayı doğrusu fikrini adım adım kullanın:

$$-2 + 7 - 4$$

$-2$'den başlayın. $7$ eklemek, $7$ birim sağa gitmek demektir:

$$-2 + 7 = 5$$

Şimdi $4$ çıkarın. Bu da $4$ birim sola gitmek demektir:

$$5 - 4 = 1$$

O hâlde

$$-2 + 7 - 4 = 1$$

Tam sayılarla toplama ve çıkarmadaki temel örüntü budur: işareti yön olarak okuyun, sonra hareketi takip edin.

Tam Sayılarla İşlemlerde Yaygın Hatalar

Tam Sayılar ile Doğal Sayıları Karıştırmak

Doğal sayılar $0, 1, 2, 3, \ldots$ kümesini içerir, ama tam sayılar bunun negatif karşılıklarını da içerir. Bu yüzden $-5$ bir tam sayıdır, fakat doğal sayı değildir.

Çıkarmanın Yönü Değiştirdiğini Unutmak

$3 - (-2)$ işleminde negatif bir sayı çıkarıyorsunuz; bu da pozitif bir sayı eklemek anlamına gelir:

$$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$

Bölmenin Her Zaman Tam Sayı Vereceğini Sanmak

Tam sayılar; toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır, ama bölmeye göre kapalı değildir. Yani iki tam sayının bölümü, tam sayı olmayan bir değer verebilir.

Tam Sayılar Nerelerde Kullanılır?

Tam sayılar; aritmetik, koordinat düzlemi, cebir, muhasebe, sıcaklık, yükseklik ve bilgisayar bilimlerinde karşımıza çıkar. Bunlar, yalnızca büyüklüğün değil yönün de önemli olduğu ilk sayı sistemlerinden biridir.

Tam sayılar sayı doğrusunda doğal gelmeye başladığında, mutlak değer, eşitsizlikler ve cebirsel ifadeler gibi sonraki konular da çok daha kolay anlaşılır.

Kendi Sorularınızı Deneyin

Şunları kendi sayı doğrunuzda deneyin: $-6 + 9$, $4 - 11$ ve $(-5)(-2)$. Daha uzun bir ifadeyi elde çözdükten sonra kontrol etmek isterseniz, kendi örneğinizi bir çözücüde deneyip her işaret değişimini karşılaştırın.