Ganze Zahlen — Rechenregeln & Zahlenstrahl

Ganze Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen, die negativen ganzen Zahlen und $0$: $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$. Sie enthalten keine Brüche oder Dezimalzahlen.

Wenn du die Regeln schnell verstehen willst, beginne mit zwei Ideen. Auf dem Zahlenstrahl zeigt das Vorzeichen die Richtung von $0$ aus, und der Betrag zeigt den Abstand zu $0$. Bei Multiplikation und Division gilt: gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis, unterschiedliche Vorzeichen ein negatives.

Was ganze Zahlen auf dem Zahlenstrahl bedeuten

Der Zahlenstrahl macht ganze Zahlen leichter verständlich. Positive ganze Zahlen liegen rechts von $0$, negative ganze Zahlen links davon, und Zahlen mit größerem Abstand zu $0$ sind weiter von null entfernt.

Zum Beispiel liegt $4$ vier Einheiten rechts von $0$, während $-4$ vier Einheiten links davon liegt. Beide haben den gleichen Abstand zu null, aber entgegengesetzte Richtungen.

Deshalb sind ganze Zahlen nützlich für Gewinn und Verlust, Temperaturen über oder unter null, Höhenlagen und horizontale Positionen.

Rechenregeln für ganze Zahlen bei Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

Bei Addition und Subtraktion hilft es, an Bewegungen auf dem Zahlenstrahl zu denken:

• Das Addieren einer positiven ganzen Zahl bedeutet eine Bewegung nach rechts.
• Das Addieren einer negativen ganzen Zahl bedeutet eine Bewegung nach links.
• Das Subtrahieren einer ganzen Zahl bedeutet, ihre Gegenzahl zu addieren.

Beispiel:

$$5 - 8 = 5 + (-8) = -3$$

Für Multiplikation und Division gilt die Vorzeichenregel:

• Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis.
• Unterschiedliche Vorzeichen ergeben ein negatives Ergebnis.

$$(-3)(4) = -12$$ $$(-3)(-4) = 12$$ $$12 \div (-3) = -4$$

Eine Bedingung ist hier wichtig. Die Division durch $0$ ist nicht definiert, und die Division durch eine von null verschiedene ganze Zahl bleibt nicht immer innerhalb der ganzen Zahlen. Zum Beispiel:

$$7 \div 2 = 3.5$$

Der Quotient ist eine reelle Zahl, aber keine ganze Zahl.

Durchgerechnetes Beispiel: Berechne $-2 + 7 - 4$

Verwende die Idee mit dem Zahlenstrahl Schritt für Schritt:

$$-2 + 7 - 4$$

Beginne bei $-2$. Das Addieren von $7$ bedeutet, $7$ Einheiten nach rechts zu gehen:

$$-2 + 7 = 5$$

Subtrahiere nun $4$. Das bedeutet, $4$ Einheiten nach links zu gehen:

$$5 - 4 = 1$$

Also gilt:

$$-2 + 7 - 4 = 1$$

Das ist das Grundmuster bei der Addition und Subtraktion ganzer Zahlen: Lies das Vorzeichen als Richtung und verfolge dann die Bewegung.

Häufige Fehler bei Rechenoperationen mit ganzen Zahlen

Ganze Zahlen und nichtnegative ganze Zahlen verwechseln

Nichtnegative ganze Zahlen umfassen $0, 1, 2, 3, \ldots$, aber ganze Zahlen enthalten auch die negativen Werte. Daher ist $-5$ eine ganze Zahl, aber keine nichtnegative ganze Zahl.

Vergessen, dass Subtraktion die Richtung ändert

In $3 - (-2)$ subtrahierst du eine negative Zahl, also addierst du eine positive:

$$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$

Annehmen, dass Division immer eine ganze Zahl ergibt

Ganze Zahlen sind abgeschlossen bezüglich Addition, Subtraktion und Multiplikation, aber nicht bezüglich Division. Das bedeutet, dass die Division zweier ganzer Zahlen einen Wert ergeben kann, der keine ganze Zahl ist.

Wo ganze Zahlen verwendet werden

Ganze Zahlen kommen in der Arithmetik, in Koordinatensystemen, in der Algebra, im Rechnungswesen, bei Temperaturen, Höhenlagen und in der Informatik vor. Sie sind oft das erste Zahlensystem, bei dem nicht nur die Größe, sondern auch die Richtung wichtig ist.

Sobald sich ganze Zahlen auf dem Zahlenstrahl natürlich anfühlen, lassen sich spätere Themen wie Betrag, Ungleichungen und algebraische Ausdrücke viel leichter verstehen.

Probiere deine eigene Version

Probiere diese Aufgaben auf deinem eigenen Zahlenstrahl: $-6 + 9$, $4 - 11$ und $(-5)(-2)$. Wenn du einen längeren Ausdruck nach dem Rechnen von Hand überprüfen möchtest, gib deine eigene Version in einen Solver ein und vergleiche jede Vorzeichenänderung.