Números inteiros — regras das operações e reta numérica

Os números inteiros são os números naturais positivos, os números naturais negativos e o $0$: $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$. Eles não incluem frações nem decimais.

Se você quer um conjunto rápido de regras, comece com duas ideias. Na reta numérica, o sinal indica a direção a partir do $0$ e o valor indica a distância até o $0$. Na multiplicação e na divisão, sinais iguais dão resultado positivo e sinais diferentes dão resultado negativo.

O que os números inteiros representam na reta numérica

A reta numérica facilita a leitura dos números inteiros. Os inteiros positivos ficam à direita do $0$, os inteiros negativos ficam à esquerda, e os números mais distantes do $0$ têm maior distância em relação ao zero.

Por exemplo, $4$ está a quatro unidades à direita do $0$, enquanto $-4$ está a quatro unidades à esquerda. Eles têm a mesma distância até o zero, mas direções opostas.

É por isso que os números inteiros são úteis para representar ganho e perda, temperatura acima ou abaixo de zero, altitude e posição horizontal.

Regras dos números inteiros para adição, subtração, multiplicação e divisão

Para adição e subtração, pense em termos de movimento na reta numérica:

• Somar um inteiro positivo move para a direita.
• Somar um inteiro negativo move para a esquerda.
• Subtrair um inteiro significa somar o seu oposto.

Exemplo:

$$5 - 8 = 5 + (-8) = -3$$

Para multiplicação e divisão, use a regra de sinais:

• Sinais iguais dão resultado positivo.
• Sinais diferentes dão resultado negativo.

$$(-3)(4) = -12$$ $$(-3)(-4) = 12$$ $$12 \div (-3) = -4$$

Há uma condição importante aqui. A divisão por $0$ é indefinida, e a divisão por um inteiro não nulo nem sempre permanece no conjunto dos inteiros. Por exemplo,

$$7 \div 2 = 3.5$$

O quociente é um número real, mas não é um número inteiro.

Exemplo resolvido: calcule $-2 + 7 - 4$

Use a ideia da reta numérica passo a passo:

$$-2 + 7 - 4$$

Comece em $-2$. Somar $7$ significa mover $7$ unidades para a direita:

$$-2 + 7 = 5$$

Agora subtraia $4$. Isso significa mover $4$ unidades para a esquerda:

$$5 - 4 = 1$$

Então,

$$-2 + 7 - 4 = 1$$

Esse é o padrão principal da adição e da subtração com números inteiros: leia o sinal como direção e depois acompanhe o movimento.

Erros comuns nas operações com números inteiros

Confundir números inteiros com números naturais

Os números naturais incluem $0, 1, 2, 3, \ldots$, mas os números inteiros também incluem as versões negativas. Portanto, $-5$ é um número inteiro, mas não é um número natural.

Esquecer que a subtração muda a direção

Em $3 - (-2)$, você está subtraindo um número negativo, o que significa somar um número positivo:

$$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$

Supor que a divisão sempre dá um número inteiro

Os números inteiros são fechados para adição, subtração e multiplicação, mas não para divisão. Isso significa que dividir dois inteiros pode produzir um valor que não é um número inteiro.

Quando os números inteiros são usados

Os números inteiros aparecem na aritmética, em gráficos no plano cartesiano, na álgebra, na contabilidade, em temperaturas, altitudes e na ciência da computação. Muitas vezes, eles são o primeiro conjunto numérico em que a direção importa, e não apenas o valor.

Quando os números inteiros passam a parecer naturais na reta numérica, tópicos posteriores como valor absoluto, desigualdades e expressões algébricas ficam muito mais fáceis de entender.

Tente sua própria versão

Tente estes exemplos na sua própria reta numérica: $-6 + 9$, $4 - 11$ e $(-5)(-2)$. Se quiser verificar uma expressão mais longa depois de resolvê-la à mão, teste sua própria versão em um solver e compare cada mudança de sinal.