Série de Fourier — Formule, coefficients et exemples

Une série de Fourier exprime une fonction périodique comme une somme d’ondes sinusoïdales et cosinusoïdales. En termes simples, elle décompose une forme qui se répète en éléments répétitifs plus simples, de fréquences différentes.

Si $f$ est périodique et régulière par morceaux sur une période, ce développement est le point de départ standard. Il est utile parce que les coefficients indiquent quelles fréquences comptent et avec quelle intensité elles apparaissent.

Formule de la série de Fourier pour une fonction $2\pi$-périodique

Pour une fonction $2\pi$-périodique, la série de Fourier réelle standard est

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

Le symbole $\sim$ est important. Il signifie qu’il s’agit de la série de Fourier associée à $f$, et non automatiquement d’une identité algébrique en tout point.

Les coefficients se trouvent en intégrant sur une période complète :

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

Voici l’idée intuitive :

• $a_0/2$ est la valeur moyenne de la fonction sur une période.
• $a_n$ mesure la composante en cosinus de fréquence $n$.
• $b_n$ mesure la composante en sinus de fréquence $n$.

De grands coefficients signifient que cette fréquence contribue davantage à la forme finale.

Ce qui change quand la période vaut $T$ au lieu de $2\pi$

Si la période vaut $T$, la même idée fonctionne toujours, mais les ondes doivent s’adapter à cette période :

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

avec les coefficients

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

Vous pouvez intégrer sur n’importe quel intervalle de longueur $T$. La condition est simple : l’intervalle doit couvrir exactement une période complète.

Pourquoi le sinus et le cosinus fonctionnent ici

Le sinus et le cosinus sont périodiques, et des fréquences différentes restent séparées quand on les intègre sur une période complète. C’est cette orthogonalité qui rend possibles les formules des coefficients.

La série pose donc en réalité toujours la même question : quelle quantité de la fréquence $n$ est contenue dans la fonction d’origine ? Les coefficients répondent à cette question.

Utiliser la symétrie avant d’intégrer

Avant de faire le moindre calcul intégral, vérifiez si la fonction est paire ou impaire.

• Si $f$ est paire, alors tous les termes $b_n$ sont nuls.
• Si $f$ est impaire, alors $a_0=0$ et tous les termes $a_n$ sont nuls.

Cela ne résout pas tous les problèmes, mais cela supprime souvent la moitié du travail avant même de commencer les intégrations.

Exemple détaillé : série de Fourier de $f(x)=x$ sur $(-\pi,\pi)$

Prenons

$$f(x) = x \qquad \text{pour } -\pi < x < \pi$$

et prolongeons-la périodiquement avec une période $2\pi$.

C’est un bon premier exemple parce que la fonction est impaire. Cela signifie que

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

donc il ne reste que les termes en sinus.

Calculons maintenant $b_n$ :

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Comme $x$ et $\sin(nx)$ sont tous deux impairs, leur produit est pair. Donc

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Utilisons une intégration par parties avec

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

Alors

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

Donc

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

L’intégrale restante en cosinus vaut

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

et le terme de bord donne

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

Par conséquent,

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

La série de Fourier est donc

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

ou, écrite terme à terme,

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

Voici l’idée essentielle : une fonction qui ne ressemble pas à une onde sinusoïdale peut tout de même être construite à partir d’ondes sinusoïdales si les coefficients sont bien choisis.

Vers quoi converge une série de Fourier

Si la fonction périodique est régulière par morceaux, la règle habituelle des manuels est la suivante :

• En un point où la fonction est continue, la série de Fourier converge vers $f(x)$.
• En un point de discontinuité par saut, elle converge vers la moyenne

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

Cette deuxième règle est facile à oublier. Elle compte dès que le prolongement périodique présente des sauts, même si la formule d’origine sur un intervalle semblait sans problème.

Pour l’exemple $f(x)=x$ sur $(-\pi,\pi)$, le prolongement périodique présente un saut en $x=\pm\pi$, donc la série y converge vers $0$ parce que la moyenne au saut vaut $0$.

Erreurs fréquentes avec les séries de Fourier

1. Utiliser les formules en $2\pi$ pour un problème de période différente sans redimensionner les termes en sinus et cosinus.
2. Oublier le prolongement périodique. Une série de Fourier représente la version répétée de la fonction, pas seulement la formule écrite sur un intervalle.
3. Négliger les vérifications de symétrie et faire des intégrales inutiles.
4. Oublier le facteur de normalisation, comme $1/\pi$ ou $2/T$.
5. Supposer que la série est égale à la valeur de la fonction en un saut. Sous les conditions usuelles de convergence, elle tend vers la moyenne à la place.

Où les séries de Fourier sont utilisées

Les séries de Fourier sont surtout utiles lorsqu’un problème a une structure périodique ou des conditions aux limites périodiques.

• En traitement du signal et en acoustique, elles décrivent les harmoniques et le contenu fréquentiel.
• Dans les problèmes de chaleur et d’ondes, elles aident à résoudre des équations différentielles sur des intervalles bornés.
• En ingénierie, elles permettent d’approximer des entrées et des réponses répétitives.
• En calcul numérique, les sommes partielles donnent des approximations exploitables même lorsque la fonction complète est plus compliquée.

Essayez un problème similaire de série de Fourier

Essayez le même procédé pour $f(x)=x^2$ sur $(-\pi,\pi)$. Commencez par la symétrie avant d’intégrer.

Ce cas est utile parce que $x^2$ est paire, donc les termes en sinus disparaissent. Le comparer à $f(x)=x$ rend la règle de symétrie beaucoup plus facile à retenir.