Serie di Fourier — Formula, Coefficienti ed Esempi

Una serie di Fourier esprime una funzione periodica come somma di onde seno e coseno. In parole semplici, scompone una forma che si ripete in pezzi più semplici che si ripetono con frequenze diverse.

Se $f$ è periodica e regolare a tratti su un periodo, questo sviluppo è il punto di partenza standard. È utile perché i coefficienti indicano quali frequenze contano e con quale intensità compaiono.

Formula della serie di Fourier per una funzione $2\pi$-periodica

Per una funzione $2\pi$-periodica, la serie di Fourier reale standard è

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

Il simbolo $\sim$ è importante. Significa che questa è la serie di Fourier associata a $f$, non automaticamente un'identità algebrica in ogni punto.

I coefficienti si trovano integrando su un periodo completo:

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

Ecco l'idea intuitiva:

• $a_0/2$ è il valore medio della funzione su un periodo.
• $a_n$ misura la componente in coseno di frequenza $n$.
• $b_n$ misura la componente in seno di frequenza $n$.

Coefficienti grandi significano che quella frequenza contribuisce di più alla forma finale.

Cosa cambia quando il periodo è $T$ invece di $2\pi$

Se il periodo è $T$, la stessa idea funziona ancora, ma le onde devono adattarsi a quel periodo:

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

con coefficienti

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

Puoi integrare su qualunque intervallo di lunghezza $T$. La condizione è semplice: l'intervallo deve coprire esattamente un periodo completo.

Perché qui funzionano seno e coseno

Seno e coseno sono periodici, e frequenze diverse restano separate quando le integri su un periodo completo. È proprio questa ortogonalità che fa funzionare le formule dei coefficienti.

Quindi la serie sta in realtà ponendo sempre la stessa domanda: quanta parte della frequenza $n$ è contenuta nella funzione originale? I coefficienti rispondono a questa domanda.

Usa la simmetria prima di integrare

Prima di fare qualsiasi integrale, controlla se la funzione è pari o dispari.

• Se $f$ è pari, allora tutti i termini $b_n$ sono $0$.
• Se $f$ è dispari, allora $a_0=0$ e tutti i termini $a_n$ sono $0$.

Questo non risolve ogni problema, ma spesso elimina metà del lavoro prima ancora di iniziare a integrare.

Esempio svolto: serie di Fourier di $f(x)=x$ su $(-\pi,\pi)$

Prendi

$$f(x) = x \qquad \text{per } -\pi < x < \pi$$

ed estendila periodicamente con periodo $2\pi$.

Questo è un buon primo esempio perché la funzione è dispari. Questo significa che

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

quindi restano solo i termini in seno.

Ora calcoliamo $b_n$:

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Poiché $x$ e $\sin(nx)$ sono entrambi dispari, il loro prodotto è pari. Quindi

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Usa l'integrazione per parti con

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

Allora

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

Quindi

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

L'integrale rimanente del coseno è

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

e il termine al bordo dà

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

Pertanto

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

Quindi la serie di Fourier è

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

oppure, scritta termine per termine,

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

Questa è l'idea chiave: una funzione che non assomiglia a un'onda sinusoidale può comunque essere costruita a partire da onde sinusoidali, se i coefficienti sono scelti correttamente.

A cosa converge una serie di Fourier

Se la funzione periodica è regolare a tratti, la regola usuale dei libri di testo è:

• In un punto in cui la funzione è continua, la serie di Fourier converge a $f(x)$.
• In una discontinuità di salto, converge al punto medio

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

Questa seconda regola è facile da trascurare. Conta ogni volta che l'estensione periodica ha salti, anche se la formula originale su un intervallo sembrava innocua.

Per l'esempio $f(x)=x$ su $(-\pi,\pi)$, l'estensione periodica ha un salto in $x=\pm\pi$, quindi lì la serie converge a $0$ perché il punto medio del salto è $0$.

Errori comuni nelle serie di Fourier

1. Usare le formule per $2\pi$ in un problema con periodo diverso senza riscalare i termini seno e coseno.
2. Dimenticare l'estensione periodica. Una serie di Fourier rappresenta la versione periodica della funzione, non solo la formula scritta su un intervallo.
3. Saltare i controlli di simmetria e fare integrali inutili.
4. Dimenticare il fattore di normalizzazione, come $1/\pi$ o $2/T$.
5. Supporre che la serie sia uguale al valore della funzione in un salto. Nelle usuali condizioni di convergenza, invece, tende al punto medio.

Dove si usano le serie di Fourier

Le serie di Fourier sono particolarmente utili quando un problema ha una struttura periodica o condizioni al contorno periodiche.

• Nei segnali e nell'acustica, descrivono armoniche e contenuto in frequenza.
• Nei problemi del calore e delle onde, aiutano a risolvere equazioni differenziali su intervalli limitati.
• In ingegneria, approssimano ingressi e risposte periodiche.
• Nel calcolo numerico, le somme parziali forniscono approssimazioni utili anche quando la funzione completa è più complicata.

Prova un problema simile sulle serie di Fourier

Prova lo stesso procedimento per $f(x)=x^2$ su $(-\pi,\pi)$. Parti dalla simmetria prima di integrare.

Questo caso è utile perché $x^2$ è pari, quindi i termini in seno scompaiono. Confrontarlo con $f(x)=x$ rende la regola della simmetria molto più facile da ricordare.