Série de Fourier — Fórmula, Coeficientes e Exemplos

Uma série de Fourier expressa uma função periódica como uma soma de ondas seno e cosseno. Em linguagem simples, ela decompõe uma forma que se repete em partes repetitivas mais simples, com frequências diferentes.

Se $f$ é periódica e suave por partes em um período, essa expansão é o ponto de partida padrão. Ela é útil porque os coeficientes mostram quais frequências importam e com que intensidade elas aparecem.

Fórmula da série de Fourier para uma função $2\pi$-periódica

Para uma função $2\pi$-periódica, a série de Fourier real padrão é

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

O símbolo $\sim$ é importante. Ele significa que esta é a série de Fourier associada a $f$, não automaticamente uma identidade algébrica em todo ponto.

Os coeficientes são obtidos integrando em um período completo:

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

Aqui está a intuição:

• $a_0/2$ é o valor médio da função em um período.
• $a_n$ mede a parte em cosseno da frequência $n$.
• $b_n$ mede a parte em seno da frequência $n$.

Coeficientes grandes significam que essa frequência contribui mais para a forma final.

O que muda quando o período é $T$ em vez de $2\pi$

Se o período é $T$, a mesma ideia ainda funciona, mas as ondas precisam se ajustar a esse período:

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

com coeficientes

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

Você pode integrar em qualquer intervalo de comprimento $T$. A condição é simples: o intervalo deve cobrir exatamente um período completo.

Por que seno e cosseno funcionam aqui

Seno e cosseno são periódicos, e frequências diferentes permanecem separadas quando você as integra em um período completo. Essa ortogonalidade é o que faz as fórmulas dos coeficientes funcionarem.

Então a série está, na verdade, fazendo a mesma pergunta repetidamente: quanto da frequência $n$ existe dentro da função original? Os coeficientes respondem a essa pergunta.

Use a simetria antes de integrar

Antes de fazer qualquer integral, verifique se a função é par ou ímpar.

• Se $f$ é par, então todos os termos $b_n$ são $0$.
• Se $f$ é ímpar, então $a_0=0$ e todos os termos $a_n$ são $0$.

Isso não resolve todo problema, mas muitas vezes elimina metade do trabalho antes mesmo de começar a integrar.

Exemplo resolvido: série de Fourier de $f(x)=x$ em $(-\pi,\pi)$

Considere

$$f(x) = x \qquad \text{para } -\pi < x < \pi$$

e faça sua extensão periódica com período $2\pi$.

Este é um bom primeiro exemplo porque a função é ímpar. Isso significa que

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

então restam apenas os termos de seno.

Agora calcule $b_n$:

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Como $x$ e $\sin(nx)$ são ambos ímpares, o produto deles é par. Então

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Use integração por partes com

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

Então

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

Logo,

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

A integral de cosseno restante é

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

e o termo de borda fornece

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

Portanto,

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

Assim, a série de Fourier é

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

ou, escrita termo a termo,

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

Essa é a ideia principal: uma função que não se parece com uma onda seno ainda pode ser construída a partir de ondas seno se os coeficientes forem escolhidos corretamente.

Para que uma série de Fourier converge

Se a função periódica é suave por partes, a regra usual dos livros-texto é:

• Em um ponto onde a função é contínua, a série de Fourier converge para $f(x)$.
• Em uma descontinuidade de salto, ela converge para o ponto médio

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

Essa segunda regra é fácil de passar despercebida. Ela importa sempre que a extensão periódica tem saltos, mesmo que a fórmula original em um intervalo parecesse inofensiva.

No exemplo $f(x)=x$ em $(-\pi,\pi)$, a extensão periódica tem saltos em $x=\pm\pi$, então a série converge para $0$ nesses pontos porque o ponto médio do salto é $0$.

Erros comuns em séries de Fourier

1. Usar as fórmulas de $2\pi$ em um problema com período diferente sem reescalar os termos de seno e cosseno.
2. Esquecer a extensão periódica. Uma série de Fourier representa a versão repetitiva da função, não apenas a fórmula escrita em um intervalo.
3. Ignorar verificações de simetria e fazer integrais desnecessárias.
4. Omitir o fator de normalização, como $1/\pi$ ou $2/T$.
5. Supor que a série é igual ao valor da função em um salto. Sob a condição usual de convergência, ela se aproxima do ponto médio.

Onde as séries de Fourier são usadas

As séries de Fourier são mais úteis quando um problema tem estrutura periódica ou condições de contorno periódicas.

• Em sinais e acústica, elas descrevem harmônicos e conteúdo em frequência.
• Em problemas de calor e ondas, elas ajudam a resolver equações diferenciais em intervalos limitados.
• Na engenharia, elas aproximam entradas e respostas repetitivas.
• Em cálculo numérico, somas parciais fornecem aproximações úteis mesmo quando a função completa é mais complicada.

Tente um problema parecido de série de Fourier

Tente o mesmo processo para $f(x)=x^2$ em $(-\pi,\pi)$. Comece pela simetria antes de integrar.

Esse caso é útil porque $x^2$ é par, então os termos de seno desaparecem. Compará-lo com $f(x)=x$ torna a regra da simetria muito mais fácil de lembrar.