อนุกรมฟูเรียร์ — สูตร สัมประสิทธิ์ และตัวอย่าง

อนุกรมฟูเรียร์เขียนฟังก์ชันคาบให้อยู่ในรูปผลบวกของคลื่นไซน์และโคไซน์ พูดง่าย ๆ คือมันแยกรูปร่างที่ซ้ำกันหนึ่งรูปออกเป็นชิ้นส่วนที่ซ้ำกันแบบง่ายกว่าและมีความถี่ต่างกัน

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันคาบและเรียบเป็นช่วง ๆ บนหนึ่งคาบ การกระจายแบบนี้คือจุดเริ่มต้นมาตรฐาน เหตุผลที่มีประโยชน์คือสัมประสิทธิ์จะบอกว่าความถี่ใดสำคัญ และปรากฏแรงแค่ไหน

สูตรอนุกรมฟูเรียร์สำหรับฟังก์ชันคาบ $2\pi$

สำหรับฟังก์ชันคาบ $2\pi$ อนุกรมฟูเรียร์จริงมาตรฐานคือ

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

สัญลักษณ์ $\sim$ สำคัญ มันหมายความว่านี่คืออนุกรมฟูเรียร์ที่สอดคล้องกับ $f$ ไม่ได้แปลว่าเป็นเอกลักษณ์เชิงพีชคณิตที่จริงทุกจุดโดยอัตโนมัติ

หาสัมประสิทธิ์ได้โดยอินทิเกรตบนหนึ่งคาบเต็ม:

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

แนวคิดคือ:

• $a_0/2$ คือระดับค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันบนหนึ่งคาบ
• $a_n$ วัดส่วนของโคไซน์ที่ความถี่ $n$
• $b_n$ วัดส่วนของไซน์ที่ความถี่ $n$

ถ้าสัมประสิทธิ์มีค่ามาก แปลว่าความถี่นั้นมีส่วนต่อรูปร่างสุดท้ายมากกว่า

ถ้าคาบเป็น $T$ แทน $2\pi$ จะเปลี่ยนอะไรบ้าง

ถ้าคาบเป็น $T$ แนวคิดเดิมยังใช้ได้ แต่คลื่นต้องพอดีกับคาบนั้น:

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

โดยมีสัมประสิทธิ์

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

คุณสามารถอินทิเกรตบนช่วงใดก็ได้ที่มีความยาว $T$ เงื่อนไขง่าย ๆ คือช่วงนั้นต้องครอบคลุมครบหนึ่งคาบพอดี

ทำไมไซน์และโคไซน์จึงใช้ได้ในที่นี้

ไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบ และความถี่ที่ต่างกันจะแยกจากกันเมื่ออินทิเกรตบนหนึ่งคาบเต็ม สมบัติการตั้งฉากนี้เองที่ทำให้สูตรหาสัมประสิทธิ์ใช้ได้

ดังนั้น อนุกรมนี้กำลังถามคำถามเดิมซ้ำ ๆ ว่า ในฟังก์ชันต้นฉบับมีความถี่ $n$ อยู่มากแค่ไหน คำตอบอยู่ในสัมประสิทธิ์

ใช้สมมาตรก่อนอินทิเกรต

ก่อนลงมืออินทิเกรต ให้ตรวจดูก่อนว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคู่หรือฟังก์ชันคี่

• ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันคู่ พจน์ $b_n$ ทั้งหมดจะเป็น $0$
• ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันคี่ จะได้ว่า $a_0=0$ และพจน์ $a_n$ ทั้งหมดเป็น $0$

สิ่งนี้ไม่ได้แก้ได้ทุกโจทย์ แต่บ่อยครั้งช่วยลดงานไปได้ครึ่งหนึ่งก่อนเริ่มอินทิเกรต

ตัวอย่างคำนวณ: อนุกรมฟูเรียร์ของ $f(x)=x$ บน $(-\pi,\pi)$

ให้

$$f(x) = x \qquad \text{for } -\pi < x < \pi$$

แล้วขยายแบบคาบด้วยคาบ $2\pi$

นี่เป็นตัวอย่างแรกที่ดี เพราะฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันคี่ นั่นหมายความว่า

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

ดังนั้นจะเหลือเฉพาะพจน์ไซน์

ต่อไปคำนวณ $b_n$:

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

เพราะทั้ง $x$ และ $\sin(nx)$ เป็นฟังก์ชันคี่ ผลคูณของทั้งสองจึงเป็นฟังก์ชันคู่ ดังนั้น

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

ใช้อินทิเกรตโดยส่วน โดยกำหนด

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

แล้วจะได้

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

ดังนั้น

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

อินทิกรัลโคไซน์ที่เหลือคือ

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

และพจน์ขอบเขตให้ค่าเป็น

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

ดังนั้น

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

จึงได้อนุกรมฟูเรียร์เป็น

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

หรือเขียนทีละพจน์ได้เป็น

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

นี่คือแนวคิดสำคัญ: ฟังก์ชันที่ดูไม่เหมือนคลื่นไซน์ก็ยังสร้างจากคลื่นไซน์ได้ ถ้าเลือกสัมประสิทธิ์ได้ถูกต้อง

อนุกรมฟูเรียร์ลู่เข้าไปที่อะไร

ถ้าฟังก์ชันคาบเรียบเป็นช่วง ๆ กฎมาตรฐานในตำราคือ:

• ที่จุดซึ่งฟังก์ชันต่อเนื่อง อนุกรมฟูเรียร์จะลู่เข้าไปที่ $f(x)$
• ที่จุดไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด มันจะลู่เข้าไปที่ค่ากึ่งกลาง

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

กฎข้อที่สองนี้มักถูกมองข้าม แต่มันสำคัญทุกครั้งที่การขยายแบบคาบมีจุดกระโดด แม้ว่าสูตรเดิมบนช่วงหนึ่งจะดูไม่มีปัญหาก็ตาม

สำหรับตัวอย่าง $f(x)=x$ บน $(-\pi,\pi)$ การขยายแบบคาบมีจุดกระโดดที่ $x=\pm\pi$ ดังนั้นอนุกรมจึงลู่เข้าไปที่ $0$ ตรงนั้น เพราะค่ากึ่งกลางของจุดกระโดดคือ $0$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในอนุกรมฟูเรียร์

1. ใช้สูตรแบบ $2\pi$ กับโจทย์ที่มีคาบต่างออกไปโดยไม่ปรับสเกลพจน์ไซน์และโคไซน์
2. ลืมเรื่องการขยายแบบคาบ อนุกรมฟูเรียร์แทนฟังก์ชันฉบับที่ซ้ำไปเรื่อย ๆ ไม่ใช่แค่สูตรที่เขียนอยู่บนช่วงเดียว
3. ข้ามการตรวจสมมาตรแล้วไปทำอินทิกรัลที่ไม่จำเป็น
4. ลืมตัวประกอบปรับมาตรฐาน เช่น $1/\pi$ หรือ $2/T$
5. คิดว่าอนุกรมมีค่าเท่ากับค่าฟังก์ชันที่จุดกระโดด ภายใต้เงื่อนไขการลู่เข้าตามปกติ มันจะเข้าใกล้ค่ากึ่งกลางแทน

อนุกรมฟูเรียร์ถูกใช้ที่ไหน

อนุกรมฟูเรียร์มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อปัญหามีโครงสร้างเป็นคาบ หรือมีเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบ

• ในสัญญาณและอะคูสติก ใช้อธิบายฮาร์มอนิกและองค์ประกอบความถี่
• ในปัญหาความร้อนและคลื่น ใช้ช่วยแก้สมการเชิงอนุพันธ์บนช่วงจำกัด
• ในวิศวกรรม ใช้ประมาณอินพุตและการตอบสนองที่เกิดซ้ำ
• ในงานเชิงตัวเลข ผลบวกย่อยให้ค่าประมาณที่ใช้งานได้ แม้ฟังก์ชันเต็มจะซับซ้อนกว่ามาก

ลองทำโจทย์อนุกรมฟูเรียร์ที่คล้ายกัน

ลองทำขั้นตอนเดียวกันกับ $f(x)=x^2$ บน $(-\pi,\pi)$ โดยเริ่มจากดูสมมาตรก่อนอินทิเกรต

กรณีนี้มีประโยชน์เพราะ $x^2$ เป็นฟังก์ชันคู่ ดังนั้นพจน์ไซน์จะหายไป การเปรียบเทียบกับ $f(x)=x$ จะช่วยให้จำกฎเรื่องสมมาตรได้ง่ายขึ้น