Trigonométrie — Guide complet

La trigonométrie est la partie des mathématiques qui relie les angles aux longueurs. Si vous devez trouver un côté ou un angle manquant dans un triangle rectangle, la trigonométrie est généralement l’outil à utiliser. Les mêmes idées s’étendent aussi au cercle trigonométrique, à la rotation et aux phénomènes périodiques comme les ondes.

La plupart des élèves commencent par trois fonctions : le sinus, le cosinus et la tangente. Pour un angle aigu $\theta$ dans un triangle rectangle,

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

Si $\cos \theta \ne 0$, alors

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

L’idée essentielle est plus simple que les formules : des triangles ayant les mêmes angles ont les mêmes rapports de côtés. C’est pourquoi une valeur trigonométrique dépend de l’angle, et non de la taille du triangle.

Ce que la trigonométrie signifie en pratique

Dans un triangle rectangle, la trigonométrie permet de relier un angle à une paire de longueurs de côtés. Une fois l’angle choisi, le nom des côtés devient relatif à cet angle.

• Le côté opposé est en face de l’angle.
• Le côté adjacent est à côté de l’angle, mais ce n’est pas l’hypoténuse.
• L’hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l’angle droit.

Si vous passez à un autre angle dans le même triangle, les côtés opposé et adjacent peuvent aussi s’échanger. C’est une source fréquente d’erreurs.

Pourquoi le sinus, le cosinus et la tangente restent constants

Si deux triangles rectangles ont les mêmes angles aigus, ils sont semblables. Leurs longueurs de côtés peuvent être différentes, mais les côtés correspondants sont multipliés par le même facteur. Pour cette raison, les rapports restent les mêmes.

C’est pourquoi $\sin 30^\circ$ ou $\cos 60^\circ$ a une valeur fixe. Le triangle peut devenir plus grand ou plus petit, mais le rapport ne change pas tant que l’angle reste le même.

Le sinus, le cosinus et la tangente en un coup d’œil

Chaque rapport compare une paire de côtés différente :

• $\sin \theta$ compare le côté opposé à l’hypoténuse.
• $\cos \theta$ compare le côté adjacent à l’hypoténuse.
• $\tan \theta$ compare le côté opposé au côté adjacent.

SOHCAHTOA peut vous aider à retenir le schéma, mais cela ne fonctionne qu’après avoir correctement identifié les côtés.

Exemple résolu : trouver la hauteur d’un bâtiment

Supposons que vous vous teniez à $20$ mètres d’un bâtiment sur un sol plat et que l’angle d’élévation vers le sommet soit de $35^\circ$. Si l’on néglige la hauteur des yeux, quelle est la hauteur du bâtiment ?

C’est un problème de triangle rectangle. La distance horizontale est le côté adjacent, et la hauteur du bâtiment est le côté opposé. Comme on connaît l’angle et le côté adjacent, la tangente est le meilleur choix :

$$\tan 35^\circ = \frac{\text{height}}{20}$$

Résolvons pour la hauteur :

$$\text{height} = 20 \tan 35^\circ$$

En utilisant une calculatrice en mode degrés,

$$\text{height} \approx 20(0.7002) \approx 14.0$$

Le bâtiment mesure donc environ $14$ mètres de haut dans ces conditions.

Le schéma général est simple : identifiez le côté connu, identifiez l’angle, choisissez le rapport trigonométrique qui les relie, puis résolvez.

Où intervient le cercle trigonométrique

Les triangles rectangles sont le point de départ, pas toute l’histoire. Pour travailler avec des angles supérieurs à $90^\circ$, des angles négatifs ou des rotations complètes, la trigonométrie s’étend au cercle trigonométrique.

Sur le cercle trigonométrique, le point d’angle $\theta$ est

$$(\cos \theta, \sin \theta)$$

Ainsi, le cosinus est la coordonnée horizontale et le sinus la coordonnée verticale. C’est pourquoi les mêmes fonctions décrivent aussi le mouvement circulaire et les graphes périodiques.

Erreurs fréquentes en trigonométrie

Une erreur fréquente consiste à identifier les côtés opposé et adjacent avant d’avoir choisi l’angle. Ces noms sont relatifs, pas des parties fixes du triangle.

Une autre erreur consiste à utiliser le bon rapport pour le mauvais type de triangle. Les définitions de base de $\sin$, $\cos$ et $\tan$ comme rapports de côtés s’appliquent directement aux triangles rectangles. Pour les triangles non rectangles, il faut généralement utiliser des outils comme la loi des sinus ou la loi des cosinus.

Le mode de la calculatrice provoque aussi des erreurs. Si le problème donne des angles en degrés, votre calculatrice doit être en mode degrés. Si le travail se fait en radians, la calculatrice doit correspondre.

Il est aussi utile de se rappeler que $\tan \theta$ n’est pas définie lorsque $\cos \theta = 0$, car la division par zéro n’est pas autorisée.

Quand la trigonométrie est utilisée

La trigonométrie apparaît dès que la direction, la rotation, la hauteur, la distance ou une variation périodique ont de l’importance. Parmi les exemples courants, on trouve la topographie, la navigation, l’ingénierie, la physique, l’infographie et l’analyse des signaux.

En mathématiques scolaires, vous la rencontrerez généralement sous quatre formes : les problèmes de triangles rectangles, les valeurs du cercle trigonométrique, les identités trigonométriques et les graphes du sinus et du cosinus.

Essayez un problème similaire

Essayez la même situation avec un arbre au lieu d’un bâtiment : placez-vous à $15$ mètres, utilisez un angle d’élévation de $40^\circ$, puis estimez la hauteur. Si vous pouvez choisir le bon rapport avant de calculer, c’est que vous utilisez correctement l’idée principale.