Σειρές Fourier — Τύπος, Συντελεστές και Παραδείγματα

Μια σειρά Fourier εκφράζει μια περιοδική συνάρτηση ως άθροισμα κυμάτων ημιτόνου και συνημιτόνου. Με απλά λόγια, διασπά ένα επαναλαμβανόμενο σχήμα σε απλούστερα επαναλαμβανόμενα κομμάτια με διαφορετικές συχνότητες.

Αν η $f$ είναι περιοδική και κατά τμήματα λεία σε μία περίοδο, αυτή η ανάπτυξη είναι το τυπικό σημείο εκκίνησης. Είναι χρήσιμη επειδή οι συντελεστές δείχνουν ποιες συχνότητες έχουν σημασία και πόσο έντονα εμφανίζονται.

Τύπος σειράς Fourier για $2\pi$-περιοδική συνάρτηση

Για μια $2\pi$-περιοδική συνάρτηση, η τυπική πραγματική σειρά Fourier είναι

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

Το σύμβολο $\sim$ έχει σημασία. Δηλώνει ότι αυτή είναι η σειρά Fourier που αντιστοιχεί στη $f$, όχι αυτόματα μια αλγεβρική ταυτότητα σε κάθε σημείο.

Οι συντελεστές βρίσκονται με ολοκλήρωση σε μία πλήρη περίοδο:

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

Η βασική ιδέα είναι η εξής:

• Το $a_0/2$ είναι η μέση τιμή της συνάρτησης σε μία περίοδο.
• Το $a_n$ μετρά το μέρος του συνημιτόνου με συχνότητα $n$.
• Το $b_n$ μετρά το μέρος του ημιτόνου με συχνότητα $n$.

Μεγάλοι συντελεστές σημαίνουν ότι αυτή η συχνότητα συμβάλλει περισσότερο στο τελικό σχήμα.

Τι αλλάζει όταν η περίοδος είναι $T$ αντί για $2\pi$

Αν η περίοδος είναι $T$, η ίδια ιδέα εξακολουθεί να ισχύει, αλλά τα κύματα πρέπει να ταιριάζουν σε αυτή την περίοδο:

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

με συντελεστές

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

Μπορείς να ολοκληρώσεις σε οποιοδήποτε διάστημα μήκους $T$. Η συνθήκη είναι απλή: το διάστημα πρέπει να καλύπτει ακριβώς μία πλήρη περίοδο.

Γιατί λειτουργούν εδώ το ημίτονο και το συνημίτονο

Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι περιοδικά, και διαφορετικές συχνότητες παραμένουν διαχωρισμένες όταν τις ολοκληρώνεις σε μία πλήρη περίοδο. Αυτή η ορθογωνιότητα είναι που κάνει να λειτουργούν οι τύποι των συντελεστών.

Άρα η σειρά ουσιαστικά θέτει ξανά και ξανά την ίδια ερώτηση: πόσο από τη συχνότητα $n$ υπάρχει μέσα στην αρχική συνάρτηση; Οι συντελεστές απαντούν σε αυτή την ερώτηση.

Χρησιμοποίησε τη συμμετρία πριν ολοκληρώσεις

Πριν κάνεις οποιονδήποτε ολοκληρωτικό υπολογισμό, έλεγξε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή.

• Αν η $f$ είναι άρτια, τότε όλοι οι όροι $b_n$ είναι $0$.
• Αν η $f$ είναι περιττή, τότε $a_0=0$ και όλοι οι όροι $a_n$ είναι $0$.

Αυτό δεν λύνει κάθε πρόβλημα, αλλά συχνά αφαιρεί τη μισή δουλειά πριν καν αρχίσεις να ολοκληρώνεις.

Λυμένο παράδειγμα: σειρά Fourier της $f(x)=x$ στο $(-\pi,\pi)$

Πάρε

$$f(x) = x \qquad \text{για } -\pi < x < \pi$$

και επέκτεινέ την περιοδικά με περίοδο $2\pi$.

Αυτό είναι ένα καλό πρώτο παράδειγμα επειδή η συνάρτηση είναι περιττή. Αυτό σημαίνει ότι

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

οπότε μένουν μόνο οι όροι ημιτόνου.

Τώρα υπολόγισε το $b_n$:

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Επειδή το $x$ και το $\sin(nx)$ είναι και τα δύο περιττά, το γινόμενό τους είναι άρτιο. Άρα

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Χρησιμοποίησε ολοκλήρωση κατά μέρη με

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

Τότε

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

Άρα

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

Το εναπομένον ολοκλήρωμα του συνημιτόνου είναι

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

και ο οριακός όρος δίνει

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

Επομένως

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

Άρα η σειρά Fourier είναι

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

ή, γραμμένη όρο προς όρο,

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

Αυτή είναι η βασική ιδέα: μια συνάρτηση που δεν μοιάζει με ημιτονοειδές κύμα μπορεί παρ’ όλα αυτά να κατασκευαστεί από ημιτονοειδή κύματα, αν οι συντελεστές επιλεγούν σωστά.

Σε τι συγκλίνει μια σειρά Fourier

Αν η περιοδική συνάρτηση είναι κατά τμήματα λεία, ο συνηθισμένος κανόνας των βιβλίων είναι ο εξής:

• Σε σημείο όπου η συνάρτηση είναι συνεχής, η σειρά Fourier συγκλίνει στο $f(x)$.
• Σε ασυνέχεια άλματος, συγκλίνει στο μέσο

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

Αυτός ο δεύτερος κανόνας είναι εύκολο να περάσει απαρατήρητος. Έχει σημασία κάθε φορά που η περιοδική επέκταση έχει άλματα, ακόμη κι αν ο αρχικός τύπος σε ένα διάστημα φαινόταν αθώος.

Για το παράδειγμα $f(x)=x$ στο $(-\pi,\pi)$, η περιοδική επέκταση έχει άλμα στα $x=\pm\pi$, οπότε η σειρά συγκλίνει εκεί στο $0$, επειδή το μέσο του άλματος είναι $0$.

Συνηθισμένα λάθη στις σειρές Fourier

1. Χρήση των τύπων για $2\pi$ σε πρόβλημα με διαφορετική περίοδο χωρίς ανακλιμάκωση των όρων ημιτόνου και συνημιτόνου.
2. Παράλειψη της περιοδικής επέκτασης. Μια σειρά Fourier παριστάνει την επαναλαμβανόμενη εκδοχή της συνάρτησης, όχι μόνο τον τύπο που γράφεται σε ένα διάστημα.
3. Παράλειψη του ελέγχου συμμετρίας και εκτέλεση περιττών ολοκληρωμάτων.
4. Παράλειψη του παράγοντα κανονικοποίησης, όπως $1/\pi$ ή $2/T$.
5. Υπόθεση ότι η σειρά ισούται με την τιμή της συνάρτησης σε ένα άλμα. Υπό τη συνήθη συνθήκη σύγκλισης, προσεγγίζει το μέσο αντί γι’ αυτό.

Πού χρησιμοποιούνται οι σειρές Fourier

Οι σειρές Fourier είναι πιο χρήσιμες όταν ένα πρόβλημα έχει περιοδική δομή ή περιοδικές συνοριακές συνθήκες.

• Στα σήματα και στην ακουστική, περιγράφουν τις αρμονικές και το περιεχόμενο συχνοτήτων.
• Σε προβλήματα θερμότητας και κυμάτων, βοηθούν στη λύση διαφορικών εξισώσεων σε φραγμένα διαστήματα.
• Στη μηχανική, προσεγγίζουν επαναλαμβανόμενες εισόδους και αποκρίσεις.
• Στις αριθμητικές μεθόδους, τα μερικά αθροίσματα δίνουν χρήσιμες προσεγγίσεις ακόμη κι όταν η πλήρης συνάρτηση είναι πιο περίπλοκη.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα σειράς Fourier

Δοκίμασε την ίδια διαδικασία για τη $f(x)=x^2$ στο $(-\pi,\pi)$. Ξεκίνα με τη συμμετρία πριν ολοκληρώσεις.

Αυτή η περίπτωση είναι χρήσιμη επειδή το $x^2$ είναι άρτια συνάρτηση, οπότε οι όροι ημιτόνου εξαφανίζονται. Αν τη συγκρίνεις με τη $f(x)=x$, ο κανόνας της συμμετρίας γίνεται πολύ πιο εύκολο να τον θυμάσαι.