傅里叶级数——公式、系数与例题

傅里叶级数把一个周期函数表示成若干正弦波和余弦波的和。通俗地说，它把一个重复出现的形状拆成频率不同、但同样重复的更简单部分。

如果 $f$ 是周期函数，并且在一个周期内分段光滑，那么这种展开就是标准起点。它之所以有用，是因为各个系数告诉你哪些频率重要，以及它们出现得有多强。

$2\pi$ 周期函数的傅里叶级数公式

对于 $2\pi$ 周期函数，标准的实数形式傅里叶级数为

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

符号 $\sim$ 很重要。它表示这是与 $f$ 对应的傅里叶级数，而不自动意味着它在每一点上都是代数恒等式。

系数通过在一个完整周期上积分得到：

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

可以这样理解：

• $a_0/2$ 是函数在一个周期内的平均水平。
• $a_n$ 衡量频率为 $n$ 的余弦部分。
• $b_n$ 衡量频率为 $n$ 的正弦部分。

系数越大，说明该频率对最终图形的贡献越大。

当周期是 $T$ 而不是 $2\pi$ 时会怎样

如果周期是 $T$，同样的思想仍然成立，只是波形必须适配这个周期：

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

其系数为

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

你可以在任意长度为 $T$ 的区间上积分。条件很简单：这个区间必须恰好覆盖一个完整周期。

为什么这里用正弦和余弦

正弦和余弦本身就是周期函数，而且不同频率在一个完整周期上的积分彼此分离。正是这种正交性使得系数公式成立。

所以，这个级数本质上是在反复问同一个问题：原函数里包含了多少频率为 $n$ 的成分？系数就是这个问题的答案。

积分前先看对称性

在做任何积分之前，先检查函数是偶函数还是奇函数。

• 如果 $f$ 是偶函数，那么所有 $b_n$ 项都为 $0$。
• 如果 $f$ 是奇函数，那么 $a_0=0$，并且所有 $a_n$ 项都为 $0$。

这不能解决所有问题，但常常能在开始积分前就省掉一半工作量。

例题：$(-\pi,\pi)$ 上 $f(x)=x$ 的傅里叶级数

取

$$f(x) = x \qquad \text{for } -\pi < x < \pi$$

并将它按周期 $2\pi$ 作周期延拓。

这是一个很好的入门例子，因为该函数是奇函数。这意味着

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

所以只剩下正弦项。

现在计算 $b_n$：

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

因为 $x$ 和 $\sin(nx)$ 都是奇函数，所以它们的乘积是偶函数。因此

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

用分部积分，取

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

则

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

所以

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

剩下的余弦积分为

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

而边界项给出

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

因此

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

所以傅里叶级数为

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

或者逐项写成

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

这里的关键思想是：一个看起来不像正弦波的函数，只要系数选得正确，仍然可以由正弦波叠加构成。

傅里叶级数收敛到什么

如果周期函数是分段光滑的，教材中的常见结论是：

• 在函数连续的点，傅里叶级数收敛到 $f(x)$。
• 在跳跃间断点，傅里叶级数收敛到中点值

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

第二条很容易被忽略。只要周期延拓后出现跳跃，它就很重要，即使原函数在某个区间上的表达式看起来很“正常”。

对于例子 $f(x)=x$ 在 $(-\pi,\pi)$ 上的情形，周期延拓在 $x=\pm\pi$ 处有跳跃，所以级数在这些点收敛到 $0$，因为跳跃两侧的中点是 $0$。

傅里叶级数中的常见错误

1. 题目周期不是 $2\pi$，却直接套用 $2\pi$ 的公式，没有对正弦和余弦项做缩放。
2. 忘记周期延拓。傅里叶级数表示的是函数的周期重复版本，而不只是某一个区间上写出的那段公式。
3. 跳过对称性检查，做了不必要的积分。
4. 漏掉归一化因子，例如 $1/\pi$ 或 $2/T$。
5. 误以为级数在跳跃点等于函数值。按通常的收敛结论，它收敛到中点值。

傅里叶级数的应用

当问题具有周期结构或周期边界条件时，傅里叶级数最有用。

• 在信号与声学中，它描述谐波和频率成分。
• 在热传导和波动问题中，它帮助求解有界区间上的微分方程。
• 在工程中，它用于近似重复输入和系统响应。
• 在数值计算中，即使完整函数更复杂，部分和也能给出可用的近似。

试做一个类似的傅里叶级数问题

试着对 $(-\pi,\pi)$ 上的 $f(x)=x^2$ 做同样的过程。开始积分前，先利用对称性。

这个例子很有用，因为 $x^2$ 是偶函数，所以正弦项会消失。把它和 $f(x)=x$ 对比，会让你更容易记住对称性规则。