Fourier-Reihe — Formel, Koeffizienten & Beispiele

Eine Fourier-Reihe stellt eine periodische Funktion als Summe von Sinus- und Kosinuswellen dar. Einfach gesagt zerlegt sie eine sich wiederholende Form in einfachere periodische Bausteine mit verschiedenen Frequenzen.

Wenn $f$ periodisch und über eine Periode stückweise glatt ist, ist diese Entwicklung der übliche Ausgangspunkt. Sie ist nützlich, weil die Koeffizienten zeigen, welche Frequenzen wichtig sind und wie stark sie auftreten.

Fourier-Reihen-Formel für eine $2\pi$-periodische Funktion

Für eine $2\pi$-periodische Funktion lautet die Standardform der reellen Fourier-Reihe

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

Das Symbol $\sim$ ist wichtig. Es bedeutet, dass dies die zu $f$ gehörige Fourier-Reihe ist und nicht automatisch an jedem Punkt eine algebraische Identität.

Die Koeffizienten erhält man durch Integration über eine volle Periode:

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

Die Intuition dazu ist:

• $a_0/2$ ist der Mittelwert der Funktion über eine Periode.
• $a_n$ misst den Kosinusanteil der Frequenz $n$.
• $b_n$ misst den Sinusanteil der Frequenz $n$.

Große Koeffizienten bedeuten, dass diese Frequenz stärker zur endgültigen Form beiträgt.

Was sich ändert, wenn die Periode $T$ statt $2\pi$ ist

Wenn die Periode $T$ ist, funktioniert dieselbe Idee weiterhin, aber die Wellen müssen zu dieser Periode passen:

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

mit den Koeffizienten

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

Du kannst über jedes Intervall der Länge $T$ integrieren. Die Bedingung ist einfach: Das Intervall muss genau eine volle Periode abdecken.

Warum Sinus und Kosinus hier funktionieren

Sinus und Kosinus sind periodisch, und verschiedene Frequenzen bleiben getrennt, wenn man über eine volle Periode integriert. Genau diese Orthogonalität sorgt dafür, dass die Formeln für die Koeffizienten funktionieren.

Die Reihe stellt also immer wieder dieselbe Frage: Wie viel von der Frequenz $n$ steckt in der ursprünglichen Funktion? Die Koeffizienten beantworten diese Frage.

Nutze Symmetrie, bevor du integrierst

Bevor du überhaupt integrierst, prüfe, ob die Funktion gerade oder ungerade ist.

• Wenn $f$ gerade ist, dann sind alle $b_n$-Terme gleich $0$.
• Wenn $f$ ungerade ist, dann gilt $a_0=0$ und alle $a_n$-Terme sind $0$.

Das löst nicht jedes Problem, aber oft halbiert es die Arbeit, noch bevor du mit dem Integrieren beginnst.

Durchgerechnetes Beispiel: Fourier-Reihe von $f(x)=x$ auf $(-\pi,\pi)$

Nimm

$$f(x) = x \qquad \text{für } -\pi < x < \pi$$

und setze die Funktion periodisch mit Periode $2\pi$ fort.

Das ist ein gutes erstes Beispiel, weil die Funktion ungerade ist. Das bedeutet

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

also bleiben nur Sinusterme übrig.

Berechne nun $b_n$:

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Da $x$ und $\sin(nx)$ beide ungerade sind, ist ihr Produkt gerade. Also gilt

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Verwende partielle Integration mit

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

Dann ist

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

Also

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

Das verbleibende Kosinusintegral ist

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

und der Randterm ergibt

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

Daher

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

Damit lautet die Fourier-Reihe

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

oder ausgeschrieben Glied für Glied

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

Das ist die zentrale Idee: Eine Funktion, die nicht wie eine Sinuswelle aussieht, kann trotzdem aus Sinuswellen aufgebaut werden, wenn die Koeffizienten richtig gewählt werden.

Gegen welchen Wert eine Fourier-Reihe konvergiert

Wenn die periodische Funktion stückweise glatt ist, gilt die übliche Lehrbuchregel:

• An einer Stelle, an der die Funktion stetig ist, konvergiert die Fourier-Reihe gegen $f(x)$.
• An einer Sprungstelle konvergiert sie gegen den Mittelwert

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

Diese zweite Regel übersieht man leicht. Sie ist immer dann wichtig, wenn die periodische Fortsetzung Sprünge hat, selbst wenn die ursprüngliche Formel auf einem Intervall harmlos aussah.

Für das Beispiel $f(x)=x$ auf $(-\pi,\pi)$ hat die periodische Fortsetzung bei $x=\pm\pi$ einen Sprung, daher konvergiert die Reihe dort gegen $0$, weil der Mittelwert des Sprungs $0$ ist.

Häufige Fehler bei Fourier-Reihen

1. Die $2\pi$-Formeln bei einer Aufgabe mit anderer Periode zu verwenden, ohne Sinus- und Kosinusterme passend umzuskalieren.
2. Die periodische Fortsetzung zu vergessen. Eine Fourier-Reihe beschreibt die periodisch wiederholte Version der Funktion, nicht nur die Formel auf einem einzelnen Intervall.
3. Symmetrieprüfungen zu überspringen und unnötige Integrale zu rechnen.
4. Den Normierungsfaktor wegzulassen, etwa $1/\pi$ oder $2/T$.
5. Anzunehmen, dass die Reihe an einer Sprungstelle dem Funktionswert entspricht. Unter den üblichen Konvergenzbedingungen nähert sie sich stattdessen dem Mittelwert.

Wo Fourier-Reihen verwendet werden

Fourier-Reihen sind besonders nützlich, wenn ein Problem eine periodische Struktur oder periodische Randbedingungen hat.

• In der Signalverarbeitung und Akustik beschreiben sie Harmonische und Frequenzanteile.
• Bei Wärmeleitungs- und Wellengleichungen helfen sie beim Lösen von Differentialgleichungen auf beschränkten Intervallen.
• Im Ingenieurwesen approximieren sie periodische Eingänge und Antworten.
• In numerischen Anwendungen liefern Partialsummen brauchbare Näherungen, auch wenn die vollständige Funktion komplizierter ist.

Probiere eine ähnliche Aufgabe zur Fourier-Reihe

Probiere denselben Ablauf für $f(x)=x^2$ auf $(-\pi,\pi)$. Nutze zuerst die Symmetrie, bevor du integrierst.

Dieser Fall ist nützlich, weil $x^2$ gerade ist und deshalb die Sinusterme verschwinden. Der Vergleich mit $f(x)=x$ macht die Symmetrieregel viel leichter merkbar.