Intégration — Règles et exemples

L’intégration consiste soit à trouver une primitive, soit à additionner des variations. Dans la plupart des premiers exercices de calcul différentiel et intégral, « intégrer cette fonction » signifie : trouver une fonction dont la dérivée est l’intégrande.

Pour une intégrale indéfinie,

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

cela signifie que $F'(x) = f(x)$. Le $+C$ est important, car deux primitives d’une même fonction peuvent différer d’une constante.

Si l’intégrale a des bornes, comme $\int_a^b f(x)\,dx$, elle décrit l’accumulation nette sur l’intervalle $[a,b]$. En géométrie, cela représente souvent une aire algébrique. Dans les applications, cela peut représenter une quantité qui s’accumule au fil du temps.

Quelle règle d’intégration essayer en premier ?

Commencez par regarder la forme de l’intégrande.

• Si l’intégrande est une somme ou une différence, intégrez terme à terme.
• S’il y a un facteur constant, sortez la constante de l’intégrale.
• Si l’expression correspond à une forme standard, utilisez la règle de primitive correspondante.
• Si l’intégrande est un produit, un quotient ou une composition, une règle de base peut ne pas suffire.

C’est important, car l’intégration est moins mécanique que la dérivation. Il n’existe pas de règle unique qui traite directement toutes les expressions.

Règles de base d’intégration à connaître

Règles du facteur constant et de la somme

Si $a$ et $b$ sont des constantes, alors :

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

C’est pour cela que l’intégration terme à terme fonctionne.

Règle de puissance

Si $n \ne -1$, alors :

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Exemple : $\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5} + C$.

Le cas particulier $\int \frac{1}{x}\,dx$

Quand l’exposant vaut $-1$, la règle de puissance ne s’applique pas. À la place,

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

La valeur absolue est importante, car $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ pour $x \ne 0$.

Primitives usuelles courantes

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

Il faut savoir les reconnaître immédiatement, car elles apparaissent souvent dans les premiers exercices d’intégration.

Pourquoi l’intégration donne l’impression d’inverser la dérivation

La dérivation demande : « Comment cette fonction varie-t-elle à cet instant ? » L’intégration pose la question inverse : « Quelle fonction pourrait avoir produit ce taux de variation ? »

C’est pourquoi vérifier une intégrale en dérivant votre réponse est si utile. Si la dérivée vous ramène à l’intégrande de départ, alors la primitive est correcte.

Exemple d’intégration : combiner trois règles de base

Calculer

$$\int \left(4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x\right)\,dx$$

C’est une somme, donc on intègre chaque terme séparément.

Pour le premier terme, on utilise la règle de puissance :

$$\int 4x^3\,dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$$

Pour le deuxième terme, on utilise le cas particulier du logarithme :

$$\int -\frac{6}{x}\,dx = -6\ln|x|$$

Pour le troisième terme, on utilise la règle trigonométrique usuelle :

$$\int 2\cos x\,dx = 2\sin x$$

On regroupe maintenant les résultats :

$$\int \left(4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x\right)\,dx = x^4 - 6\ln|x| + 2\sin x + C$$

Vérification par dérivation :

$$\frac{d}{dx}\left(x^4 - 6\ln|x| + 2\sin x + C\right) = 4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x$$

Cette vérification est particulièrement utile pour repérer les signes oubliés et les constantes manquantes.

Erreurs fréquentes en intégration

1. Oublier $+C$ dans une intégrale indéfinie.
2. Utiliser la règle de puissance pour $x^{-1}$. Dans ce cas, on obtient $\ln|x| + C$, et non une réponse issue de la règle de puissance.
3. Séparer un produit comme si $\int f(x)g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \int g(x)\,dx$. En général, c’est faux.
4. Reprendre un résultat de dérivation à l’envers sans vérifier le signe. Par exemple, $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$.

Quand utilise-t-on les intégrales définies ?

L’intégration apparaît chaque fois qu’une quantité se construit à partir de nombreuses petites variations.

• En géométrie, une intégrale définie peut représenter l’aire algébrique sous une courbe.
• En physique, l’intégrale de la vitesse donne le déplacement sur un intervalle.
• En économie ou en ingénierie, l’intégration peut modéliser un coût cumulé, une croissance ou un débit accumulé.

La condition est importante. Par exemple, si la vitesse change de signe, l’intégrale de la vitesse donne le déplacement net, et non la distance totale.

Quand les règles de base ne suffisent plus

Les règles de base fonctionnent bien lorsque l’intégrande correspond déjà à une forme familière. Si ce n’est pas le cas, vous pouvez avoir besoin d’un changement de variable, d’une intégration par parties ou d’une autre technique.

C’est un bon point d’arrêt : si une formule ne correspond pas clairement, ne la forcez pas.

Essayez une intégrale similaire

Essayez

$$\int \left(5x^2 + \frac{3}{x} - 4\sin x\right)\,dx$$

Puis dérivez votre réponse pour la vérifier. Si vous pouvez expliquer pourquoi le terme du milieu devient un logarithme, alors vous avez compris l’exception essentielle à la règle de puissance.