Chuỗi Fourier — Công thức, Hệ số và Ví dụ

Chuỗi Fourier biểu diễn một hàm tuần hoàn dưới dạng tổng của các sóng sin và cos. Nói đơn giản, nó tách một dạng lặp lại thành những thành phần lặp lại đơn giản hơn với các tần số khác nhau.

Nếu $f$ là hàm tuần hoàn và trơn từng khúc trên một chu kỳ, thì khai triển này là điểm khởi đầu tiêu chuẩn. Nó hữu ích vì các hệ số cho biết tần số nào quan trọng và chúng xuất hiện mạnh đến mức nào.

Công thức chuỗi Fourier cho hàm tuần hoàn $2\pi$

Với một hàm tuần hoàn $2\pi$, chuỗi Fourier thực chuẩn là

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

Ký hiệu $\sim$ rất quan trọng. Nó có nghĩa đây là chuỗi Fourier gắn với $f$, chứ không tự động là một đẳng thức đại số tại mọi điểm.

Các hệ số được tìm bằng cách lấy tích phân trên một chu kỳ đầy đủ:

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

Trực giác ở đây là:

• $a_0/2$ là giá trị trung bình của hàm trên một chu kỳ.
• $a_n$ đo phần cos ở tần số $n$.
• $b_n$ đo phần sin ở tần số $n$.

Hệ số càng lớn thì tần số đó đóng góp càng nhiều vào hình dạng cuối cùng.

Điều gì thay đổi khi chu kỳ là $T$ thay vì $2\pi$

Nếu chu kỳ là $T$, ý tưởng vẫn giữ nguyên, nhưng các sóng phải khớp với chu kỳ đó:

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

với các hệ số

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

Bạn có thể lấy tích phân trên bất kỳ khoảng nào có độ dài $T$. Điều kiện rất đơn giản: khoảng đó phải phủ đúng một chu kỳ đầy đủ.

Vì sao sin và cos lại dùng được ở đây

Sin và cos là các hàm tuần hoàn, và các tần số khác nhau vẫn tách biệt khi bạn lấy tích phân chúng trên một chu kỳ đầy đủ. Tính trực giao đó chính là lý do các công thức hệ số hoạt động.

Vì vậy, chuỗi này thực chất liên tục đặt ra cùng một câu hỏi: trong hàm ban đầu có bao nhiêu thành phần ở tần số $n$? Các hệ số trả lời câu hỏi đó.

Dùng tính đối xứng trước khi lấy tích phân

Trước khi tính bất kỳ tích phân nào, hãy kiểm tra xem hàm là chẵn hay lẻ.

• Nếu $f$ là hàm chẵn, thì mọi hạng $b_n$ đều bằng $0$.
• Nếu $f$ là hàm lẻ, thì $a_0=0$ và mọi hạng $a_n$ đều bằng $0$.

Điều này không giải quyết được mọi bài toán, nhưng thường giúp giảm một nửa công việc trước khi bạn bắt đầu tính tích phân.

Ví dụ mẫu: chuỗi Fourier của $f(x)=x$ trên $(-\pi,\pi)$

Xét

$$f(x) = x \qquad \text{với } -\pi < x < \pi$$

và mở rộng tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$.

Đây là một ví dụ mở đầu tốt vì hàm là hàm lẻ. Điều đó có nghĩa là

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

nên chỉ còn lại các hạng sin.

Bây giờ tính $b_n$:

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Vì $x$ và $\sin(nx)$ đều là hàm lẻ, nên tích của chúng là hàm chẵn. Do đó

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Dùng phương pháp tích phân từng phần với

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

Khi đó

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

Suy ra

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

Tích phân cos còn lại là

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

và hạng biên cho

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

Vì vậy

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

Do đó chuỗi Fourier là

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

hoặc viết theo từng hạng,

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

Đây là ý chính: một hàm trông không giống sóng sin vẫn có thể được tạo thành từ các sóng sin nếu các hệ số được chọn đúng.

Chuỗi Fourier hội tụ về đâu

Nếu hàm tuần hoàn là trơn từng khúc, thì quy tắc quen thuộc trong giáo trình là:

• Tại điểm mà hàm liên tục, chuỗi Fourier hội tụ về $f(x)$.
• Tại điểm gián đoạn kiểu nhảy, nó hội tụ về trung điểm

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

Quy tắc thứ hai rất dễ bị bỏ sót. Nó quan trọng bất cứ khi nào phần mở rộng tuần hoàn có điểm nhảy, ngay cả khi công thức ban đầu trên một khoảng trông có vẻ vô hại.

Với ví dụ $f(x)=x$ trên $(-\pi,\pi)$, phần mở rộng tuần hoàn bị nhảy tại $x=\pm\pi$, nên chuỗi hội tụ về $0$ ở đó vì trung điểm của bước nhảy là $0$.

Những lỗi thường gặp với chuỗi Fourier

1. Dùng công thức $2\pi$ cho bài toán có chu kỳ khác mà không co giãn lại các hạng sin và cos.
2. Quên phần mở rộng tuần hoàn. Chuỗi Fourier biểu diễn phiên bản lặp lại của hàm, không chỉ riêng công thức viết trên một khoảng.
3. Bỏ qua kiểm tra đối xứng và làm những tích phân không cần thiết.
4. Làm rơi hệ số chuẩn hóa, chẳng hạn như $1/\pi$ hoặc $2/T$.
5. Cho rằng chuỗi bằng giá trị của hàm tại điểm nhảy. Theo điều kiện hội tụ thông thường, nó tiến tới trung điểm thay vì vậy.

Chuỗi Fourier được dùng ở đâu

Chuỗi Fourier hữu ích nhất khi bài toán có cấu trúc tuần hoàn hoặc điều kiện biên tuần hoàn.

• Trong tín hiệu và âm học, chúng mô tả các họa âm và thành phần tần số.
• Trong các bài toán nhiệt và sóng, chúng giúp giải phương trình vi phân trên các khoảng bị chặn.
• Trong kỹ thuật, chúng xấp xỉ các đầu vào và đáp ứng lặp lại.
• Trong tính toán số, các tổng riêng cho ta những xấp xỉ dùng được ngay cả khi hàm đầy đủ phức tạp hơn.

Thử một bài chuỗi Fourier tương tự

Hãy thử cùng quy trình cho $f(x)=x^2$ trên $(-\pi,\pi)$. Hãy bắt đầu bằng tính đối xứng trước khi lấy tích phân.

Trường hợp này hữu ích vì $x^2$ là hàm chẵn, nên các hạng sin biến mất. So sánh nó với $f(x)=x$ sẽ giúp bạn nhớ quy tắc đối xứng dễ hơn nhiều.