フーリエ級数 — 公式・係数・例題

フーリエ級数は、周期関数を正弦波と余弦波の和として表す方法です。直感的には、1つの繰り返す形を、周波数の異なるより単純な繰り返し成分に分解するものです。

$f$ が周期関数で、1周期の上で区分的に滑らかなら、この展開は標準的な出発点になります。係数を見ることで、どの周波数が重要で、どの程度強く現れているかが分かるので便利です。

$2\pi$ 周期関数のフーリエ級数の公式

$2\pi$ 周期関数に対して、標準的な実フーリエ級数は

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

です。

ここで記号 $\sim$ は重要です。これは $f$ に対応するフーリエ級数であることを表しており、すべての点で自動的に代数的な恒等式になるわけではありません。

係数は、1周期全体で積分して求めます。

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

直感的には次のように考えられます。

• $a_0/2$ は、1周期における関数の平均的な高さです。
• $a_n$ は、周波数 $n$ の余弦成分の大きさを表します。
• $b_n$ は、周波数 $n$ の正弦成分の大きさを表します。

係数が大きいほど、その周波数成分が最終的な形に強く寄与します。

周期が $2\pi$ ではなく $T$ のときは何が変わるか

周期が $T$ でも、考え方は同じです。ただし、波がその周期に合うようにしなければなりません。

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

係数は

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

となります。

長さ $T$ の区間であれば、どの区間で積分してもかまいません。条件は単純で、その区間がちょうど1周期を完全に含んでいることです。

なぜここで正弦と余弦が使えるのか

正弦と余弦は周期関数であり、異なる周波数どうしは1周期全体で積分すると分離されます。この直交性があるからこそ、係数の公式が成り立ちます。

つまり、この級数は同じ問いを何度も繰り返していると考えられます。元の関数の中に、周波数 $n$ の成分がどれだけ含まれているのか、という問いです。係数がその答えを与えます。

積分する前に対称性を使う

積分を始める前に、その関数が偶関数か奇関数かを確認しましょう。

• $f$ が偶関数なら、すべての $b_n$ 項は $0$ です。
• $f$ が奇関数なら、$a_0=0$ で、すべての $a_n$ 項も $0$ です。

これだけで問題がすべて解けるわけではありませんが、積分を始める前に作業量が半分になることはよくあります。

例題：$(-\pi,\pi)$ 上の $f(x)=x$ のフーリエ級数

次を考えます。

$$f(x) = x \qquad \text{for } -\pi < x < \pi$$

これを周期 $2\pi$ で周期的に拡張します。

これは最初の例として適しています。なぜなら、この関数は奇関数だからです。したがって

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

となり、正弦項だけが残ります。

では $b_n$ を計算します。

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

$x$ も $\sin(nx)$ も奇関数なので、その積は偶関数です。よって

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

となります。

部分積分を使い、

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

とおくと、

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

です。したがって

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

残った余弦の積分は

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

であり、端点の項は

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

となります。

したがって

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

です。

よってフーリエ級数は

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

となります。

項ごとに書けば、

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

です。

ここでの重要な考え方は、見た目が正弦波でない関数でも、係数を適切に選べば正弦波の和として作れるということです。

フーリエ級数は何に収束するのか

周期関数が区分的に滑らかであれば、教科書でよく使われる規則は次の通りです。

• 関数が連続な点では、フーリエ級数は $f(x)$ に収束します。
• 跳躍不連続点では、次の中点に収束します。

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

この2つ目の規則は見落としやすい点です。もとの式が1つの区間では問題なさそうに見えても、周期拡張したときに跳びがあるなら重要になります。

例として $(-\pi,\pi)$ 上の $f(x)=x$ では、周期拡張すると $x=\pm\pi$ で跳びが生じます。そのため、その点では級数は $0$ に収束します。跳びの中点が $0$ だからです。

フーリエ級数でよくあるミス

1. 周期が異なる問題なのに、正弦項と余弦項をスケーリングせずに $2\pi$ の公式をそのまま使ってしまう。
2. 周期拡張を忘れる。フーリエ級数が表すのは、1つの区間に書かれた式だけではなく、その関数の繰り返し版です。
3. 対称性の確認を飛ばして、不必要な積分をしてしまう。
4. $1/\pi$ や $2/T$ などの正規化係数を落としてしまう。
5. 跳躍点で級数が関数値そのものに等しいと思い込む。通常の収束条件では、中点に近づきます。

フーリエ級数はどこで使われるか

フーリエ級数は、問題に周期構造や周期境界条件があるときに特に有用です。

• 信号処理や音響では、高調波や周波数成分を記述します。
• 熱方程式や波動方程式の問題では、有界区間上の微分方程式を解くのに役立ちます。
• 工学では、繰り返し入力や応答の近似に使われます。
• 数値計算では、関数全体が複雑でも、部分和によって実用的な近似が得られます。

類題に挑戦してみよう

同じ手順で、$(-\pi,\pi)$ 上の $f(x)=x^2$ についても試してみましょう。積分する前に、まず対称性を確認してください。

この例は $x^2$ が偶関数なので、正弦項が消える点で役立ちます。$f(x)=x$ の場合と比べると、対称性の規則がずっと覚えやすくなります。