Szereg Fouriera — wzór, współczynniki i przykłady

Szereg Fouriera przedstawia funkcję okresową jako sumę fal sinusowych i cosinusowych. Mówiąc prościej, rozkłada jeden powtarzający się kształt na prostsze powtarzające się składniki o różnych częstotliwościach.

Jeśli $f$ jest okresowa i odcinkami gładka na jednym okresie, to taki rozwój jest standardowym punktem wyjścia. Jest użyteczny, ponieważ współczynniki pokazują, które częstotliwości są istotne i jak silnie występują.

Wzór szeregu Fouriera dla funkcji $2\pi$-okresowej

Dla funkcji $2\pi$-okresowej standardowy rzeczywisty szereg Fouriera ma postać

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

Symbol $\sim$ ma znaczenie. Oznacza, że jest to szereg Fouriera związany z funkcją $f$, a nie automatycznie tożsamość algebraiczna w każdym punkcie.

Współczynniki wyznacza się przez całkowanie po jednym pełnym okresie:

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

Intuicja jest następująca:

• $a_0/2$ to średni poziom funkcji na jednym okresie.
• $a_n$ mierzy składową cosinusową o częstotliwości $n$.
• $b_n$ mierzy składową sinusową o częstotliwości $n$.

Duże współczynniki oznaczają, że dana częstotliwość ma większy udział w końcowym kształcie.

Co się zmienia, gdy okres wynosi $T$ zamiast $2\pi$

Jeśli okres wynosi $T$, ta sama idea nadal działa, ale fale muszą pasować do tego okresu:

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

ze współczynnikami

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

Możesz całkować po dowolnym przedziale długości $T$. Warunek jest prosty: przedział musi obejmować dokładnie jeden pełny okres.

Dlaczego tutaj działają sinus i cosinus

Sinus i cosinus są funkcjami okresowymi, a różne częstotliwości pozostają rozdzielone, gdy całkujesz je po pełnym okresie. To właśnie ta ortogonalność sprawia, że wzory na współczynniki działają.

Tak naprawdę szereg wciąż zadaje to samo pytanie: ile składowej o częstotliwości $n$ zawiera funkcja wyjściowa? Współczynniki odpowiadają na to pytanie.

Zanim zaczniesz całkować, wykorzystaj symetrię

Zanim wykonasz jakiekolwiek całkowanie, sprawdź, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta.

• Jeśli $f$ jest parzysta, to wszystkie wyrazy $b_n$ są równe $0$.
• Jeśli $f$ jest nieparzysta, to $a_0=0$ i wszystkie wyrazy $a_n$ są równe $0$.

Nie rozwiązuje to każdego zadania, ale często usuwa połowę pracy jeszcze przed rozpoczęciem całkowania.

Przykład obliczeniowy: szereg Fouriera funkcji $f(x)=x$ na $(-\pi,\pi)$

Weźmy

$$f(x) = x \qquad \text{dla } -\pi < x < \pi$$

i przedłużmy ją okresowo z okresem $2\pi$.

To dobry pierwszy przykład, ponieważ funkcja jest nieparzysta. To oznacza, że

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

więc pozostają tylko wyrazy sinusowe.

Teraz obliczamy $b_n$:

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Ponieważ $x$ i $\sin(nx)$ są funkcjami nieparzystymi, ich iloczyn jest parzysty. Zatem

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Stosujemy całkowanie przez części, przyjmując

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

Wtedy

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

Zatem

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

Pozostała całka z cosinusa wynosi

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

a wyraz brzegowy daje

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

Wobec tego

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

Zatem szereg Fouriera ma postać

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

albo, zapisany wyraz po wyrazie,

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

To jest kluczowa idea: funkcję, która nie wygląda jak fala sinusoidalna, nadal można zbudować z sinusów, jeśli współczynniki zostaną dobrane poprawnie.

Do czego zbiega szereg Fouriera

Jeśli funkcja okresowa jest odcinkami gładka, to standardowa reguła z podręczników mówi:

• W punkcie, w którym funkcja jest ciągła, szereg Fouriera zbiega do $f(x)$.
• W punkcie nieciągłości skokowej zbiega do średniej

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

Tę drugą regułę łatwo przeoczyć. Ma znaczenie zawsze wtedy, gdy okresowe przedłużenie ma skoki, nawet jeśli pierwotny wzór na jednym przedziale wyglądał niewinnie.

Dla przykładu $f(x)=x$ na $(-\pi,\pi)$ okresowe przedłużenie ma skoki w punktach $x=\pm\pi$, więc szereg zbiega tam do $0$, ponieważ środek skoku wynosi $0$.

Typowe błędy w szeregach Fouriera

1. Używanie wzorów dla $2\pi$ w zadaniu o innym okresie bez przeskalowania wyrazów sinusowych i cosinusowych.
2. Zapominanie o okresowym przedłużeniu. Szereg Fouriera opisuje powtarzającą się wersję funkcji, a nie tylko wzór zapisany na jednym przedziale.
3. Pomijanie sprawdzenia symetrii i wykonywanie niepotrzebnych całek.
4. Gubienie czynnika normalizującego, takiego jak $1/\pi$ lub $2/T$.
5. Zakładanie, że szereg jest równy wartości funkcji w punkcie skoku. Przy standardowych warunkach zbieżności dąży on zamiast tego do środka skoku.

Gdzie stosuje się szeregi Fouriera

Szeregi Fouriera są najbardziej użyteczne wtedy, gdy problem ma strukturę okresową albo okresowe warunki brzegowe.

• W sygnałach i akustyce opisują harmoniczne i zawartość częstotliwościową.
• W zagadnieniach przewodnictwa cieplnego i fal pomagają rozwiązywać równania różniczkowe na ograniczonych przedziałach.
• W inżynierii służą do przybliżania powtarzających się wymuszeń i odpowiedzi układu.
• W obliczeniach numerycznych sumy częściowe dają użyteczne przybliżenia nawet wtedy, gdy pełna funkcja jest bardziej złożona.

Spróbuj podobnego zadania z szeregu Fouriera

Przeprowadź ten sam proces dla $f(x)=x^2$ na $(-\pi,\pi)$. Zanim zaczniesz całkować, zacznij od sprawdzenia symetrii.

Ten przypadek jest użyteczny, ponieważ $x^2$ jest funkcją parzystą, więc wyrazy sinusowe znikają. Porównanie go z przypadkiem $f(x)=x$ znacznie ułatwia zapamiętanie reguły symetrii.