푸리에 급수 — 공식, 계수, 예제

푸리에 급수는 주기함수를 사인파와 코사인파의 합으로 나타내는 방법입니다. 쉽게 말해, 하나의 반복되는 모양을 서로 다른 주파수를 가진 더 단순한 반복 조각들로 분해하는 것입니다.

$f$가 주기함수이고 한 주기에서 구간별로 매끄럽다면, 이 전개는 표준적인 출발점이 됩니다. 계수를 보면 어떤 주파수가 중요한지, 그리고 그 주파수가 얼마나 강하게 나타나는지 알 수 있어서 유용합니다.

$2\pi$-주기 함수의 푸리에 급수 공식

$2\pi$-주기 함수에 대해 표준적인 실수형 푸리에 급수는 다음과 같습니다.

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

여기서 기호 $\sim$는 중요합니다. 이것은 $f$에 대응하는 푸리에 급수라는 뜻이지, 모든 점에서 자동으로 성립하는 대수적 항등식이라는 뜻은 아닙니다.

계수는 한 주기 전체에서 적분하여 구합니다.

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

직관적으로 보면 다음과 같습니다.

• $a_0/2$는 한 주기에서 함수의 평균값입니다.
• $a_n$은 주파수 $n$의 코사인 성분을 나타냅니다.
• $b_n$은 주파수 $n$의 사인 성분을 나타냅니다.

계수가 클수록 그 주파수가 최종 모양에 더 크게 기여합니다.

주기가 $2\pi$가 아니라 $T$일 때 달라지는 점

주기가 $T$여도 같은 아이디어는 그대로 적용됩니다. 다만 파형이 그 주기에 맞게 들어가야 합니다.

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

계수는 다음과 같습니다.

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

길이가 $T$인 어떤 구간에서 적분해도 됩니다. 조건은 간단합니다. 그 구간이 정확히 한 주기 전체를 덮어야 합니다.

왜 여기서 사인과 코사인이 작동할까

사인과 코사인은 주기함수이고, 서로 다른 주파수끼리는 한 주기 전체에서 적분하면 서로 분리됩니다. 바로 이 직교성이 계수 공식이 성립하는 이유입니다.

그래서 이 급수는 결국 같은 질문을 반복해서 던지는 셈입니다. 원래 함수 안에 주파수 $n$ 성분이 얼마나 들어 있는가? 그 질문에 대한 답이 바로 계수입니다.

적분하기 전에 대칭성부터 확인하기

적분을 시작하기 전에 함수가 짝함수인지 홀함수인지 확인하세요.

• $f$가 짝함수이면 모든 $b_n$ 항은 $0$입니다.
• $f$가 홀함수이면 $a_0=0$이고 모든 $a_n$ 항은 $0$입니다.

이것이 모든 문제를 해결해 주는 것은 아니지만, 적분을 시작하기도 전에 계산량의 절반을 줄여 주는 경우가 많습니다.

계산 예제: $(-\pi,\pi)$에서 $f(x)=x$의 푸리에 급수

다음을 생각합시다.

$$f(x) = x \qquad \text{for } -\pi < x < \pi$$

그리고 이것을 주기 $2\pi$로 주기적으로 연장합니다.

이 함수는 홀함수이므로 첫 예제로 아주 좋습니다. 따라서

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

이고, 사인항만 남습니다.

이제 $b_n$을 계산합니다.

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

$x$와 $\sin(nx)$는 둘 다 홀함수이므로, 그 곱은 짝함수입니다. 따라서

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

부분적분을 사용하면

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

이므로

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

따라서

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

남은 코사인 적분은

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

이고, 경계항은

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

이므로

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

따라서 푸리에 급수는

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

또는 항별로 쓰면

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

핵심은 이것입니다. 사인파처럼 보이지 않는 함수라도, 계수를 올바르게 선택하면 사인파들의 합으로 만들 수 있습니다.

푸리에 급수는 무엇으로 수렴하는가

주기함수가 구간별로 매끄럽다면, 교과서에서 보통 다음 규칙을 사용합니다.

• 함수가 연속인 점에서는 푸리에 급수가 $f(x)$로 수렴합니다.
• 점프 불연속점에서는 다음 중간값으로 수렴합니다.

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

두 번째 규칙은 놓치기 쉽습니다. 한 구간에서의 원래 식은 멀쩡해 보여도, 주기적 연장에서 점프가 생기면 이 규칙이 중요해집니다.

예를 들어 $(-\pi,\pi)$에서 $f(x)=x$인 경우, 주기적 연장은 $x=\pm\pi$에서 점프를 가지므로 그 점들에서 급수는 $0$으로 수렴합니다. 점프의 중간값이 $0$이기 때문입니다.

푸리에 급수에서 자주 하는 실수

1. 주기가 다른 문제인데도 사인과 코사인 항을 재조정하지 않고 $2\pi$ 공식을 그대로 사용하는 것
2. 주기적 연장을 잊는 것. 푸리에 급수는 한 구간에 적힌 식만이 아니라 그 함수의 반복된 버전을 나타냅니다.
3. 대칭성 확인을 건너뛰고 불필요한 적분을 하는 것
4. $1/\pi$나 $2/T$ 같은 정규화 상수를 빠뜨리는 것
5. 점프점에서 급수가 함수값과 같다고 가정하는 것. 보통의 수렴 조건에서는 그 대신 중간값으로 갑니다.

푸리에 급수는 어디에 쓰일까

푸리에 급수는 문제에 주기 구조나 주기적 경계조건이 있을 때 특히 유용합니다.

• 신호와 음향에서는 고조파와 주파수 성분을 설명합니다.
• 열 방정식이나 파동 문제에서는 유계 구간에서 미분방정식을 푸는 데 도움을 줍니다.
• 공학에서는 반복되는 입력과 응답을 근사하는 데 사용됩니다.
• 수치 계산에서는 전체 함수가 더 복잡하더라도 부분합만으로 실용적인 근사를 얻을 수 있습니다.

비슷한 푸리에 급수 문제를 풀어 보기

$(-\pi,\pi)$에서 $f(x)=x^2$에 대해서도 같은 과정을 해 보세요. 적분하기 전에 먼저 대칭성부터 확인해 보세요.

이 경우는 $x^2$가 짝함수이므로 사인항이 사라집니다. 이를 $f(x)=x$와 비교해 보면 대칭성 규칙을 훨씬 더 쉽게 기억할 수 있습니다.