Fourier Serisi — Formül, Katsayılar ve Örnekler

Bir Fourier serisi, periyodik bir fonksiyonu sinüs ve kosinüs dalgalarının toplamı olarak ifade eder. Basitçe söylemek gerekirse, tekrar eden bir şekli farklı frekanslara sahip daha basit tekrar eden parçalara ayırır.

Eğer $f$ bir periyot boyunca periyodik ve parçalı düzgünse, bu açılım standart başlangıç noktasıdır. Yararlıdır çünkü katsayılar hangi frekansların önemli olduğunu ve ne kadar güçlü göründüklerini gösterir.

$2\pi$-periyodik bir fonksiyon için Fourier serisi formülü

$2\pi$-periyodik bir fonksiyon için standart reel Fourier serisi şöyledir:

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

Buradaki $\sim$ sembolü önemlidir. Bu, her noktada otomatik olarak cebirsel bir özdeşlik değil, $f$ ile ilişkili Fourier serisi olduğu anlamına gelir.

Katsayılar bir tam periyot üzerinde integral alınarak bulunur:

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

Sezgisel anlamı şöyledir:

• $a_0/2$, fonksiyonun bir periyot üzerindeki ortalama seviyesidir.
• $a_n$, $n$ frekansındaki kosinüs bileşenini ölçer.
• $b_n$, $n$ frekansındaki sinüs bileşenini ölçer.

Büyük katsayılar, o frekansın son şekle daha fazla katkı yaptığını gösterir.

Periyot $2\pi$ yerine $T$ olduğunda ne değişir?

Periyot $T$ ise aynı fikir yine çalışır, ancak dalgaların bu periyoda uyması gerekir:

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

ve katsayılar

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

Uzunluğu $T$ olan herhangi bir aralık üzerinde integral alabilirsiniz. Koşul basittir: aralık tam olarak bir tam periyodu kapsamalıdır.

Burada neden sinüs ve kosinüs işe yarar?

Sinüs ve kosinüs periyodiktir; farklı frekanslar da bir tam periyot üzerinde integral alındığında birbirinden ayrık kalır. Katsayı formüllerinin çalışmasını sağlayan şey bu ortogonalliktir.

Dolayısıyla seri aslında aynı soruyu tekrar tekrar sorar: özgün fonksiyonun içinde $n$ frekansından ne kadar var? Bu sorunun cevabını katsayılar verir.

İntegral almadan önce simetriyi kullan

Herhangi bir integral hesabına başlamadan önce fonksiyonun çift mi tek mi olduğuna bakın.

• Eğer $f$ çiftse, tüm $b_n$ terimleri $0$ olur.
• Eğer $f$ tekse, $a_0=0$ ve tüm $a_n$ terimleri $0$ olur.

Bu her problemi çözmez, ama çoğu zaman integrale başlamadan işin yarısını ortadan kaldırır.

Çözümlü örnek: $(-\pi,\pi)$ aralığında $f(x)=x$ fonksiyonunun Fourier serisi

Şunu alalım:

$$f(x) = x \qquad \text{for } -\pi < x < \pi$$

ve bunu periyodu $2\pi$ olacak şekilde periyodik olarak uzatalım.

Bu iyi bir ilk örnektir çünkü fonksiyon tektir. Bu da şu anlama gelir:

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

yani yalnızca sinüs terimleri kalır.

Şimdi $b_n$'yi hesaplayalım:

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

$x$ ve $\sin(nx)$ ikisi de tek olduğu için çarpımları çifttir. Dolayısıyla

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Kısmi integrasyon uygulayalım:

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

O zaman

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

Böylece

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

Kalan kosinüs integrali

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

olur ve sınır terimi de

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

verir.

Buna göre

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

Dolayısıyla Fourier serisi

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

olur; terim terim yazarsak

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

Temel fikir şudur: Sinüs dalgasına benzemeyen bir fonksiyon bile, katsayılar doğru seçilirse sinüs dalgalarından oluşturulabilir.

Fourier serisi neye yakınsar?

Periyodik fonksiyon parçalı düzgünse, ders kitaplarında verilen olağan kural şudur:

• Fonksiyonun sürekli olduğu bir noktada Fourier serisi $f(x)$'e yakınsar.
• Bir sıçrama süreksizliğinde, orta noktaya yakınsar:

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

İkinci kuralı gözden kaçırmak kolaydır. Özellikle periyodik uzatmada sıçramalar varsa önemlidir; tek bir aralıktaki özgün formül zararsız görünse bile.

$(-\pi,\pi)$ aralığında $f(x)=x$ örneğinde, periyodik uzatma $x=\pm\pi$ noktalarında sıçrama yapar; bu yüzden seri orada $0$'a yakınsar, çünkü sıçramanın orta noktası $0$'dır.

Fourier serilerinde yaygın hatalar

1. Sinüs ve kosinüs terimlerini yeniden ölçeklemeden, periyodu farklı olan bir problemde $2\pi$ formüllerini kullanmak.
2. Periyodik uzatmayı unutmak. Fourier serisi yalnızca bir aralıkta yazılan formülü değil, fonksiyonun tekrar eden hâlini temsil eder.
3. Simetri kontrolünü atlayıp gereksiz integraller yapmak.
4. $1/\pi$ veya $2/T$ gibi normalizasyon çarpanını düşürmek.
5. Serinin bir sıçramada fonksiyon değerine eşit olduğunu sanmak. Olağan yakınsama koşulu altında bunun yerine orta noktaya yaklaşır.

Fourier serileri nerelerde kullanılır?

Fourier serileri en çok, problem periyodik bir yapıya ya da periyodik sınır koşullarına sahip olduğunda kullanışlıdır.

• Sinyallerde ve akustikte harmonikleri ve frekans içeriğini açıklar.
• Isı ve dalga problemlerinde, sınırlı aralıklardaki diferansiyel denklemleri çözmeye yardımcı olur.
• Mühendislikte, tekrar eden girdileri ve tepkileri yaklaşık olarak ifade eder.
• Sayısal çalışmalarda, kısmi toplamlar tam fonksiyon daha karmaşık olsa bile kullanılabilir yaklaşıklar verir.

Benzer bir Fourier serisi problemi dene

Aynı süreci $(-\pi,\pi)$ aralığında $f(x)=x^2$ için deneyin. İntegral almadan önce simetriyle başlayın.

Bu durum yararlıdır çünkü $x^2$ çifttir; dolayısıyla sinüs terimleri kaybolur. Bunu $f(x)=x$ ile karşılaştırmak, simetri kuralını hatırlamayı çok daha kolaylaştırır.