Formule de la longueur d’arc

La formule de la longueur d’arc donne la distance le long d’une partie de cercle. Si un cercle a pour rayon $r$ et pour angle au centre $\theta$ en radians, alors

$$s = r\theta$$

Si l’angle est donné en degrés à la place, utilisez

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Les deux formules disent la même chose : la longueur d’arc représente la même fraction de la circonférence que l’angle au centre représente d’un tour complet.

Ce que signifie la longueur d’arc

La longueur d’arc n’est pas la distance en ligne droite entre deux points. C’est la longueur que vous mesureriez en suivant la courbe elle-même.

Dans un cercle, deux éléments déterminent cette longueur. Le rayon indique la taille du cercle, et l’angle au centre indique quelle portion du cercle on considère.

Un rayon plus grand donne un arc plus long. Un angle plus grand donne aussi un arc plus long.

Pourquoi $s = r\theta$ ne fonctionne qu’avec les radians

Les radians sont définis à partir de la longueur d’arc. Un radian est l’angle qui intercepte un arc de même longueur que le rayon, donc quand $\theta = 1$, la formule donne $s = r$.

C’est pour cela que la formule en radians est si simple. Un cercle complet a un angle de $2\pi$ radians et une circonférence de $2\pi r$, donc prendre une fraction $\frac{\theta}{2\pi}$ du cercle donne

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

Si l’angle est en degrés, convertissez-le d’abord ou utilisez la formule en degrés. La condition est importante : $s = r\theta$ est correcte seulement lorsque $\theta$ est en radians.

Exemple résolu avec un angle en degrés

Supposons qu’un cercle ait un rayon de $10$ m et un angle au centre de $72^\circ$. Comme l’angle est en degrés, on utilise

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Remplacez $\theta = 72$ et $r = 10$ :

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

Simplifions maintenant :

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

Donc la longueur d’arc exacte est $4\pi$ m.

Si vous voulez une valeur décimale approchée,

$$4\pi \approx 12.57$$

donc la longueur d’arc est d’environ $12.57$ m.

Vous pouvez aussi convertir $72^\circ$ en radians :

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

Puis

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui constitue une bonne vérification.

Erreurs fréquentes sur la longueur d’arc

1. Utiliser $s = r\theta$ alors que l’angle est encore en degrés.
2. Utiliser le diamètre alors que la formule demande le rayon.
3. Confondre longueur d’arc et longueur de corde. La longueur d’arc suit la courbe, tandis qu’une corde est le segment droit entre les mêmes extrémités.
4. Confondre longueur d’arc et aire d’un secteur. L’aire d’un secteur utilise une autre formule.

Quand utilise-t-on la formule de la longueur d’arc

La version pour le cercle apparaît en géométrie, en trigonométrie et dans des problèmes appliqués avec des roues, des engrenages, des pistes circulaires et des rotations.

En calcul intégral, l’idée s’étend aux courbes générales. Si $y = f(x)$ est suffisamment régulière sur un intervalle $[a,b]$, la longueur d’arc est

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

Cette formule donne la longueur d’une courbe représentée par un graphe, pas seulement d’une partie de cercle. Ici aussi, la condition est importante : la dérivée doit exister sur l’intervalle, et l’intégrale doit avoir un sens.

Vérification rapide avant de finir

Si l’angle double et que le rayon reste le même, la longueur d’arc double.

Si le rayon double et que l’angle reste le même, la longueur d’arc double aussi.

Si votre réponse ne varie pas ainsi, revérifiez l’unité de l’angle et si vous avez utilisé le rayon ou le diamètre.

Essayez un exercice similaire

Essayez votre propre version avec un rayon de $6$ cm et un angle au centre de $150^\circ$. Résolvez-le une fois avec la formule en degrés et une fois en convertissant d’abord en radians. Si les deux réponses coïncident, votre démarche est correcte.