Bogenlängenformel

Die Bogenlängenformel gibt die Strecke entlang eines Teils eines Kreises an. Hat ein Kreis den Radius $r$ und den Mittelpunktswinkel $\theta$ im Bogenmaß, dann gilt

$$s = r\theta$$

Ist der Winkel stattdessen in Grad gegeben, verwende

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Beide Formeln sagen dasselbe aus: Die Bogenlänge ist derselbe Anteil am Umfang wie der Mittelpunktswinkel an einer vollen Umdrehung.

Was Bogenlänge bedeutet

Die Bogenlänge ist nicht die geradlinige Entfernung zwischen zwei Punkten. Sie ist die Länge, die du misst, wenn du der Kurve selbst folgst.

Bei einem Kreis bestimmen zwei Dinge diese Länge. Der Radius sagt dir, wie groß der Kreis ist, und der Mittelpunktswinkel sagt dir, wie viel vom Kreis betrachtet wird.

Ein größerer Radius ergibt einen längeren Bogen. Ein größerer Winkel ebenfalls.

Warum $s = r\theta$ nur mit dem Bogenmaß funktioniert

Das Bogenmaß ist über die Bogenlänge definiert. Ein Radiant ist der Winkel, der einen Bogen abschneidet, dessen Länge gleich dem Radius ist, also liefert die Formel bei $\theta = 1$ den Wert $s = r$.

Deshalb ist die Formel im Bogenmaß so elegant. Ein voller Kreis hat den Winkel $2\pi$ Radiant und den Umfang $2\pi r$, also ergibt der Anteil $\frac{\theta}{2\pi}$ des Kreises

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

Wenn der Winkel in Grad angegeben ist, wandle ihn zuerst um oder verwende die Gradformel. Diese Bedingung ist wichtig: $s = r\theta$ ist nur dann korrekt, wenn $\theta$ im Bogenmaß vorliegt.

Durchgerechnetes Beispiel mit einem Winkel in Grad

Angenommen, ein Kreis hat den Radius $10$ m und den Mittelpunktswinkel $72^\circ$. Da der Winkel in Grad gegeben ist, verwenden wir

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Setze $\theta = 72$ und $r = 10$ ein:

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

Nun vereinfachen wir:

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

Die exakte Bogenlänge ist also $4\pi$ m.

Wenn du eine Dezimalnäherung möchtest,

$$4\pi \approx 12.57$$

dann ist die Bogenlänge ungefähr $12.57$ m.

Du kannst $72^\circ$ auch ins Bogenmaß umrechnen:

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

Dann gilt

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis, was eine gute Kontrolle ist.

Häufige Fehler bei der Bogenlänge

1. $s = r\theta$ verwenden, obwohl der Winkel noch in Grad angegeben ist.
2. Den Durchmesser verwenden, obwohl die Formel den Radius braucht.
3. Bogenlänge mit Sehnenlänge verwechseln. Die Bogenlänge folgt der Kurve, während eine Sehne die gerade Strecke zwischen denselben Endpunkten ist.
4. Bogenlänge mit der Fläche eines Kreissektors verwechseln. Für die Sektorfläche gilt eine andere Formel.

Wann die Bogenlängenformel verwendet wird

Die Kreisform taucht in Geometrie, Trigonometrie und Anwendungsaufgaben mit Rädern, Zahnrädern, Kreisbahnen und Drehbewegungen auf.

In der Analysis wird die Idee auf allgemeine Kurven erweitert. Ist $y = f(x)$ auf einem Intervall $[a,b]$ hinreichend glatt, dann ist die Bogenlänge

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

Diese Formel gilt für die Länge eines Graphen, nicht nur für einen Teil eines Kreises. Auch hier ist die Bedingung wichtig: Die Ableitung muss auf dem Intervall existieren, und das Integral muss sinnvoll definiert sein.

Kurzer Check vor dem Abgeben

Wenn sich der Winkel verdoppelt und der Radius gleich bleibt, verdoppelt sich die Bogenlänge.

Wenn sich der Radius verdoppelt und der Winkel gleich bleibt, verdoppelt sich die Bogenlänge ebenfalls.

Wenn dein Ergebnis sich nicht so verhält, prüfe noch einmal die Winkeleinheit und ob du Radius oder Durchmesser verwendet hast.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche eine eigene Variante mit dem Radius $6$ cm und dem Mittelpunktswinkel $150^\circ$. Löse sie einmal mit der Gradformel und einmal, indem du zuerst ins Bogenmaß umrechnest. Wenn beide Antworten übereinstimmen, ist dein Ansatz korrekt.