สูตรความยาวส่วนโค้ง

สูตรความยาวส่วนโค้งใช้หาค่าระยะทางตามส่วนหนึ่งของวงกลม ถ้าวงกลมมีรัศมี $r$ และมีมุมที่จุดศูนย์กลาง $\theta$ เป็นเรเดียน จะได้ว่า

$$s = r\theta$$

ถ้ามุมกำหนดมาเป็นหน่วยองศา ให้ใช้

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

ทั้งสองสูตรบอกความหมายเดียวกัน คือ ความยาวส่วนโค้งเป็นสัดส่วนเดียวกับเส้นรอบวง เท่ากับที่มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสัดส่วนของการหมุนครบหนึ่งรอบ

ความหมายของความยาวส่วนโค้ง

ความยาวส่วนโค้งไม่ใช่ระยะเส้นตรงระหว่างจุดสองจุด แต่มันคือความยาวที่คุณจะวัดได้ถ้าลากตามแนวเส้นโค้งจริง ๆ

ในวงกลม มีสองสิ่งที่กำหนดความยาวนี้ รัศมีบอกว่าวงกลมใหญ่แค่ไหน และมุมที่จุดศูนย์กลางบอกว่าคุณกำลังพิจารณาส่วนของวงกลมมากน้อยเพียงใด

รัศมีมากขึ้น ส่วนโค้งก็ยาวขึ้น มุมมากขึ้น ส่วนโค้งก็ยาวขึ้นเช่นกัน

ทำไม $s = r\theta$ ใช้ได้เฉพาะเมื่อเป็นเรเดียน

เรเดียนถูกนิยามจากความยาวส่วนโค้ง หนึ่งเรเดียนคือมุมที่กั้นส่วนโค้งซึ่งยาวเท่ากับรัศมี ดังนั้นเมื่อ $\theta = 1$ สูตรจะให้ $s = r$

นี่จึงเป็นเหตุผลที่สูตรในหน่วยเรเดียนดูเรียบง่ายมาก วงกลมเต็มวงมีมุม $2\pi$ เรเดียน และมีเส้นรอบวง $2\pi r$ ดังนั้นถ้าเอาสัดส่วน $\frac{\theta}{2\pi}$ ของวงกลม จะได้

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

ถ้ามุมอยู่ในหน่วยองศา ให้แปลงก่อนหรือใช้สูตรสำหรับองศา เงื่อนไขนี้สำคัญมาก: $s = r\theta$ จะถูกต้องก็ต่อเมื่อ $\theta$ อยู่ในหน่วยเรเดียนเท่านั้น

ตัวอย่างทำโจทย์เมื่อมุมเป็นองศา

สมมติว่าวงกลมมีรัศมี $10$ m และมีมุมที่จุดศูนย์กลาง $72^\circ$ เนื่องจากมุมอยู่ในหน่วยองศา ให้ใช้

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

แทนค่า $\theta = 72$ และ $r = 10$:

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

จากนั้นจัดรูป:

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

ดังนั้นความยาวส่วนโค้งที่แน่นอนคือ $4\pi$ m

ถ้าต้องการค่าประมาณเป็นทศนิยม

$$4\pi \approx 12.57$$

ดังนั้นความยาวส่วนโค้งประมาณ $12.57$ m

คุณยังสามารถแปลง $72^\circ$ เป็นเรเดียนได้:

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

แล้วจะได้

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

ทั้งสองวิธีให้คำตอบตรงกัน ซึ่งเป็นวิธีตรวจสอบที่ดี

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับความยาวส่วนโค้ง

1. ใช้ $s = r\theta$ ทั้งที่มุมยังเป็นหน่วยองศา
2. ใช้เส้นผ่านศูนย์กลาง ทั้งที่สูตรต้องใช้รัศมี
3. สับสนระหว่างความยาวส่วนโค้งกับความยาวคอร์ด ความยาวส่วนโค้งวัดตามแนวเส้นโค้ง ส่วนคอร์ดคือเส้นตรงที่เชื่อมปลายทั้งสองจุดเดียวกัน
4. สับสนระหว่างความยาวส่วนโค้งกับพื้นที่ภาคของวงกลม ซึ่งพื้นที่ภาคของวงกลมใช้คนละสูตร

สูตรความยาวส่วนโค้งใช้เมื่อไร

สูตรสำหรับวงกลมพบได้ในเรขาคณิต ตรีโกณมิติ และโจทย์ประยุกต์เกี่ยวกับล้อ เฟือง รางวงกลม และการหมุน

ในแคลคูลัส แนวคิดนี้ขยายไปสู่เส้นโค้งทั่วไป ถ้า $y = f(x)$ เรียบเพียงพอบนช่วง $[a,b]$ ความยาวส่วนโค้งคือ

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

สูตรนี้ใช้หาความยาวของกราฟ ไม่ได้ใช้เฉพาะส่วนหนึ่งของวงกลมเท่านั้น เงื่อนไขก็สำคัญเช่นกัน: อนุพันธ์ต้องมีอยู่บนช่วงนั้น และอินทิกรัลต้องนิยามได้

เช็กสั้น ๆ ก่อนส่งคำตอบ

ถ้ามุมเพิ่มเป็นสองเท่า และรัศมียังคงเดิม ความยาวส่วนโค้งก็จะเพิ่มเป็นสองเท่า

ถ้ารัศมีเพิ่มเป็นสองเท่า และมุมยังคงเดิม ความยาวส่วนโค้งก็จะเพิ่มเป็นสองเท่าเช่นกัน

ถ้าคำตอบของคุณไม่เปลี่ยนตามสัดส่วนนี้ ให้ตรวจหน่วยของมุมอีกครั้ง และดูว่าคุณใช้รัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลาง

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองสร้างโจทย์ของตัวเองโดยใช้รัศมี $6$ cm และมุมที่จุดศูนย์กลาง $150^\circ$ แก้หนึ่งครั้งด้วยสูตรองศา และอีกครั้งโดยแปลงเป็นเรเดียนก่อน ถ้าทั้งสองคำตอบตรงกัน แสดงว่าคุณตั้งโจทย์ได้ถูกต้อง