Fórmula do Comprimento de Arco

A fórmula do comprimento de arco dá a distância ao longo de parte de um círculo. Se um círculo tem raio $r$ e ângulo central $\theta$ em radianos, então

$$s = r\theta$$

Se o ângulo for dado em graus, use

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

As duas fórmulas dizem a mesma coisa: o comprimento do arco é a mesma fração da circunferência que o ângulo central é de uma volta completa.

O que significa comprimento de arco

Comprimento de arco não é a distância em linha reta entre dois pontos. É o comprimento que você mediria ao seguir a própria curva.

Em um círculo, duas coisas controlam esse comprimento. O raio diz o tamanho do círculo, e o ângulo central diz quanto do círculo você está considerando.

Um raio maior produz um arco maior. Um ângulo maior também produz um arco maior.

Por que $s = r\theta$ só funciona com radianos

Radianos são definidos usando comprimento de arco. Um radiano é o ângulo que intercepta um arco com comprimento igual ao raio, então quando $\theta = 1$, a fórmula dá $s = r$.

É por isso que a fórmula em radianos é tão simples. Um círculo completo tem ângulo de $2\pi$ radianos e circunferência $2\pi r$, então tomar uma fração $\frac{\theta}{2\pi}$ do círculo dá

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

Se o ângulo estiver em graus, converta primeiro ou use a fórmula em graus. Essa condição importa: $s = r\theta$ só está correta quando $\theta$ está em radianos.

Exemplo resolvido com ângulo em graus

Suponha que um círculo tenha raio $10$ m e ângulo central de $72^\circ$. Como o ângulo está em graus, use

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Substitua $\theta = 72$ e $r = 10$:

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

Agora simplifique:

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

Então o comprimento exato do arco é $4\pi$ m.

Se você quiser uma aproximação decimal,

$$4\pi \approx 12.57$$

então o comprimento do arco é aproximadamente $12.57$ m.

Você também pode converter $72^\circ$ para radianos:

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

Então

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

Os dois métodos concordam, o que é uma boa verificação.

Erros comuns com comprimento de arco

1. Usar $s = r\theta$ quando o ângulo ainda está em graus.
2. Usar o diâmetro quando a fórmula precisa do raio.
3. Confundir comprimento de arco com comprimento da corda. O comprimento de arco segue a curva, enquanto a corda é o segmento reto entre as mesmas extremidades.
4. Misturar comprimento de arco com área do setor. A área do setor usa uma fórmula diferente.

Quando a fórmula do comprimento de arco é usada

A versão para círculos aparece em geometria, trigonometria e problemas aplicados com rodas, engrenagens, pistas circulares e rotação.

No cálculo, a ideia se estende para curvas gerais. Se $y = f(x)$ for suficientemente suave em um intervalo $[a,b]$, o comprimento de arco é

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

Essa fórmula é para o comprimento de um gráfico, não apenas de parte de um círculo. A condição também importa aqui: a derivada deve existir no intervalo, e a integral deve fazer sentido.

Verificação rápida antes de terminar

Se o ângulo dobra e o raio permanece o mesmo, o comprimento de arco dobra.

Se o raio dobra e o ângulo permanece o mesmo, o comprimento de arco também dobra.

Se sua resposta não variar dessa forma, confira novamente a unidade do ângulo e se você usou raio ou diâmetro.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com raio $6$ cm e ângulo central de $150^\circ$. Resolva uma vez com a fórmula em graus e outra convertendo primeiro para radianos. Se as duas respostas coincidirem, sua montagem está correta.