Wzór na długość łuku

Wzór na długość łuku podaje odległość wzdłuż części okręgu. Jeśli okrąg ma promień $r$ i kąt środkowy $\theta$ wyrażony w radianach, to

$$s = r\theta$$

Jeśli zamiast tego kąt jest podany w stopniach, użyj

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Oba wzory mówią to samo: długość łuku stanowi taki sam ułamek obwodu, jak kąt środkowy stanowi pełnego obrotu.

Co oznacza długość łuku

Długość łuku nie jest odległością w linii prostej między dwoma punktami. To długość, którą zmierzysz, jeśli poprowadzisz pomiar wzdłuż samej krzywej.

W okręgu o tej długości decydują dwie rzeczy. Promień mówi, jak duży jest okrąg, a kąt środkowy określa, jaką część okręgu bierzesz.

Większy promień daje dłuższy łuk. Większy kąt także daje dłuższy łuk.

Dlaczego $s = r\theta$ działa tylko dla radianów

Radiany są zdefiniowane za pomocą długości łuku. Jeden radian to taki kąt, który wycina łuk o długości równej promieniowi, więc gdy $\theta = 1$, wzór daje $s = r$.

Dlatego wzór z radianami jest tak prosty. Pełny okrąg ma miarę $2\pi$ radianów i obwód $2\pi r$, więc wzięcie ułamka $\frac{\theta}{2\pi}$ okręgu daje

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

Jeśli kąt jest podany w stopniach, najpierw go przelicz albo użyj wzoru dla stopni. Ten warunek ma znaczenie: $s = r\theta$ jest poprawne tylko wtedy, gdy $\theta$ jest wyrażone w radianach.

Przykład z kątem w stopniach

Załóżmy, że okrąg ma promień $10$ m i kąt środkowy $72^\circ$. Ponieważ kąt jest podany w stopniach, użyj

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Podstaw $\theta = 72$ i $r = 10$:

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

Teraz uprość:

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

Zatem dokładna długość łuku wynosi $4\pi$ m.

Jeśli chcesz przybliżenie dziesiętne,

$$4\pi \approx 12.57$$

więc długość łuku wynosi około $12.57$ m.

Możesz też zamienić $72^\circ$ na radiany:

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

Wtedy

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

Obie metody dają ten sam wynik, co jest dobrą kontrolą.

Typowe błędy przy długości łuku

1. Użycie $s = r\theta$, gdy kąt nadal jest podany w stopniach.
2. Użycie średnicy tam, gdzie we wzorze potrzebny jest promień.
3. Mylenie długości łuku z długością cięciwy. Długość łuku biegnie po krzywej, a cięciwa jest prostym odcinkiem między tymi samymi końcami.
4. Mylenie długości łuku z polem wycinka. Pole wycinka liczy się innym wzorem.

Kiedy używa się wzoru na długość łuku

Wersja dla okręgu pojawia się w geometrii, trygonometrii i zadaniach praktycznych związanych z kołami, zębatkami, torami kołowymi i ruchem obrotowym.

W analizie matematycznej ta idea rozszerza się na ogólne krzywe. Jeśli $y = f(x)$ jest dostatecznie gładka na przedziale $[a,b]$, to długość łuku wynosi

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

Ten wzór dotyczy długości wykresu, a nie tylko części okręgu. Tutaj też warunek ma znaczenie: pochodna musi istnieć na tym przedziale, a całka musi mieć sens.

Szybka kontrola przed końcem

Jeśli kąt się podwaja, a promień pozostaje taki sam, długość łuku też się podwaja.

Jeśli promień się podwaja, a kąt pozostaje taki sam, długość łuku również się podwaja.

Jeśli twoja odpowiedź nie skaluje się w ten sposób, jeszcze raz sprawdź jednostkę kąta oraz to, czy użyto promienia czy średnicy.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj własnej wersji z promieniem $6$ cm i kątem środkowym $150^\circ$. Rozwiąż je raz wzorem dla stopni, a raz po wcześniejszej zamianie na radiany. Jeśli oba wyniki się zgadzają, masz poprawne ustawienie.