Công thức độ dài cung tròn

Công thức độ dài cung tròn cho biết khoảng cách dọc theo một phần của đường tròn. Nếu một đường tròn có bán kính $r$ và góc ở tâm $\theta$ tính bằng radian, thì

$$s = r\theta$$

Nếu góc được cho theo độ, hãy dùng

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Hai công thức này nói cùng một ý: độ dài cung chiếm cùng tỉ phần của chu vi như góc ở tâm chiếm của một vòng tròn đầy đủ.

Độ dài cung tròn nghĩa là gì

Độ dài cung không phải là khoảng cách đường thẳng giữa hai điểm. Nó là độ dài bạn đo được nếu đi theo chính đường cong đó.

Trong một đường tròn, có hai yếu tố quyết định độ dài này. Bán kính cho biết đường tròn lớn đến mức nào, còn góc ở tâm cho biết bạn đang lấy bao nhiêu phần của đường tròn.

Bán kính lớn hơn thì cung dài hơn. Góc lớn hơn cũng cho cung dài hơn.

Vì sao $s = r\theta$ chỉ đúng với radian

Radian được định nghĩa dựa trên độ dài cung. Một radian là góc chắn một cung có độ dài đúng bằng bán kính, nên khi $\theta = 1$, công thức cho $s = r$.

Đó là lý do công thức theo radian gọn như vậy. Một đường tròn đầy đủ có góc $2\pi$ radian và chu vi $2\pi r$, nên lấy tỉ phần $\frac{\theta}{2\pi}$ của đường tròn sẽ cho

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

Nếu góc cho theo độ, hãy đổi trước hoặc dùng công thức theo độ. Điều kiện này rất quan trọng: $s = r\theta$ chỉ đúng khi $\theta$ tính bằng radian.

Ví dụ có lời giải với góc tính theo độ

Giả sử một đường tròn có bán kính $10$ m và góc ở tâm $72^\circ$. Vì góc được cho theo độ, ta dùng

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Thế $\theta = 72$ và $r = 10$:

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

Bây giờ rút gọn:

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

Vậy độ dài cung chính xác là $4\pi$ m.

Nếu muốn giá trị gần đúng thập phân,

$$4\pi \approx 12.57$$

nên độ dài cung xấp xỉ $12.57$ m.

Bạn cũng có thể đổi $72^\circ$ sang radian:

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

Khi đó

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

Cả hai cách đều cho cùng một kết quả, và đó là một cách kiểm tra tốt.

Những lỗi thường gặp khi tính độ dài cung

1. Dùng $s = r\theta$ khi góc vẫn đang ở đơn vị độ.
2. Dùng đường kính trong khi công thức cần bán kính.
3. Nhầm độ dài cung với độ dài dây cung. Độ dài cung đi theo đường cong, còn dây cung là đoạn thẳng nối hai đầu mút đó.
4. Nhầm độ dài cung với diện tích hình quạt. Diện tích hình quạt dùng công thức khác.

Khi nào dùng công thức độ dài cung

Phiên bản cho đường tròn xuất hiện trong hình học, lượng giác và các bài toán ứng dụng về bánh xe, bánh răng, đường chạy tròn và chuyển động quay.

Trong giải tích, ý tưởng này được mở rộng cho các đường cong tổng quát. Nếu $y = f(x)$ đủ trơn trên khoảng $[a,b]$, thì độ dài cung là

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

Công thức đó dùng cho độ dài của một đồ thị, không chỉ cho một phần của đường tròn. Điều kiện ở đây cũng quan trọng: đạo hàm phải tồn tại trên khoảng đó, và tích phân phải có nghĩa.

Kiểm tra nhanh trước khi hoàn thành

Nếu góc tăng gấp đôi và bán kính giữ nguyên, thì độ dài cung cũng tăng gấp đôi.

Nếu bán kính tăng gấp đôi và góc giữ nguyên, thì độ dài cung cũng tăng gấp đôi.

Nếu đáp án của bạn không thay đổi theo cách đó, hãy kiểm tra lại đơn vị góc và xem bạn đã dùng bán kính hay đường kính.

Thử một bài tương tự

Hãy tự làm một phiên bản với bán kính $6$ cm và góc ở tâm $150^\circ$. Giải một lần bằng công thức theo độ và một lần bằng cách đổi sang radian trước. Nếu hai đáp án trùng nhau, thì cách thiết lập của bạn là đúng.