Τύπος μήκους τόξου

Ο τύπος του μήκους τόξου δίνει την απόσταση κατά μήκος ενός μέρους ενός κύκλου. Αν ένας κύκλος έχει ακτίνα $r$ και κεντρική γωνία $\theta$ σε ακτίνια, τότε

$$s = r\theta$$

Αν η γωνία δίνεται σε μοίρες, χρησιμοποίησε αντί γι’ αυτό

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Και οι δύο τύποι εκφράζουν το ίδιο πράγμα: το μήκος του τόξου είναι το ίδιο κλάσμα της περιφέρειας όσο η κεντρική γωνία είναι ενός πλήρους κύκλου.

Τι σημαίνει μήκος τόξου

Το μήκος τόξου δεν είναι η ευθύγραμμη απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία. Είναι το μήκος που θα μετρούσες αν ακολουθούσες την ίδια την καμπύλη.

Σε έναν κύκλο, δύο πράγματα καθορίζουν αυτό το μήκος. Η ακτίνα δείχνει πόσο μεγάλος είναι ο κύκλος και η κεντρική γωνία δείχνει πόσο μέρος του κύκλου παίρνεις.

Μεγαλύτερη ακτίνα δίνει μεγαλύτερο τόξο. Μεγαλύτερη γωνία δίνει επίσης μεγαλύτερο τόξο.

Γιατί το $s = r\theta$ ισχύει μόνο με ακτίνια

Τα ακτίνια ορίζονται με βάση το μήκος τόξου. Ένα ακτίνιο είναι η γωνία που αποκόπτει τόξο ίσο σε μήκος με την ακτίνα, οπότε όταν $\theta = 1$, ο τύπος δίνει $s = r$.

Γι’ αυτό ο τύπος με τα ακτίνια είναι τόσο απλός. Ένας πλήρης κύκλος έχει γωνία $2\pi$ ακτίνια και περιφέρεια $2\pi r$, άρα παίρνοντας το κλάσμα $\frac{\theta}{2\pi}$ του κύκλου προκύπτει

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

Αν η γωνία είναι σε μοίρες, κάνε πρώτα μετατροπή ή χρησιμοποίησε τον τύπο για μοίρες. Η προϋπόθεση είναι σημαντική: το $s = r\theta$ είναι σωστό μόνο όταν το $\theta$ είναι σε ακτίνια.

Λυμένο παράδειγμα με γωνία σε μοίρες

Έστω ότι ένας κύκλος έχει ακτίνα $10$ m και κεντρική γωνία $72^\circ$. Αφού η γωνία είναι σε μοίρες, χρησιμοποίησε

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Κάνε αντικατάσταση με $\theta = 72$ και $r = 10$:

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

Τώρα απλοποίησε:

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

Άρα το ακριβές μήκος τόξου είναι $4\pi$ m.

Αν θέλεις δεκαδική προσέγγιση,

$$4\pi \approx 12.57$$

οπότε το μήκος τόξου είναι περίπου $12.57$ m.

Μπορείς επίσης να μετατρέψεις τις $72^\circ$ σε ακτίνια:

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

Τότε

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

Και οι δύο μέθοδοι συμφωνούν, κάτι που είναι ένας καλός έλεγχος.

Συνηθισμένα λάθη στο μήκος τόξου

1. Να χρησιμοποιείς το $s = r\theta$ ενώ η γωνία είναι ακόμα σε μοίρες.
2. Να χρησιμοποιείς τη διάμετρο εκεί όπου ο τύπος χρειάζεται την ακτίνα.
3. Να συγχέεις το μήκος τόξου με το μήκος χορδής. Το μήκος τόξου ακολουθεί την καμπύλη, ενώ η χορδή είναι το ευθύγραμμο τμήμα ανάμεσα στα ίδια άκρα.
4. Να μπερδεύεις το μήκος τόξου με το εμβαδόν κυκλικού τομέα. Το εμβαδόν τομέα χρησιμοποιεί διαφορετικό τύπο.

Πότε χρησιμοποιείται ο τύπος του μήκους τόξου

Η εκδοχή για τον κύκλο εμφανίζεται στη γεωμετρία, στην τριγωνομετρία και σε εφαρμοσμένα προβλήματα με τροχούς, γρανάζια, κυκλικές διαδρομές και περιστροφή.

Στον λογισμό, η ιδέα επεκτείνεται σε γενικές καμπύλες. Αν $y = f(x)$ είναι αρκετά ομαλή σε ένα διάστημα $[a,b]$, το μήκος τόξου είναι

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

Αυτός ο τύπος αφορά το μήκος μιας γραφικής παράστασης και όχι μόνο μέρους ενός κύκλου. Και εδώ η προϋπόθεση έχει σημασία: η παράγωγος πρέπει να υπάρχει στο διάστημα και το ολοκλήρωμα να έχει νόημα.

Γρήγορος έλεγχος πριν τελειώσεις

Αν η γωνία διπλασιαστεί και η ακτίνα μείνει ίδια, το μήκος τόξου διπλασιάζεται.

Αν η ακτίνα διπλασιαστεί και η γωνία μείνει ίδια, το μήκος τόξου επίσης διπλασιάζεται.

Αν η απάντησή σου δεν μεταβάλλεται έτσι, ξαναέλεγξε τη μονάδα της γωνίας και αν χρησιμοποίησες ακτίνα ή διάμετρο.

Δοκίμασε μια παρόμοια άσκηση

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με ακτίνα $6$ cm και κεντρική γωνία $150^\circ$. Λύσε την μία φορά με τον τύπο για μοίρες και μία φορά μετατρέποντας πρώτα σε ακτίνια. Αν και οι δύο απαντήσεις ταιριάζουν, η διαδικασία σου είναι σωστή.