Fórmula de la longitud de arco

La fórmula de la longitud de arco da la distancia a lo largo de una parte de un círculo. Si un círculo tiene radio $r$ y ángulo central $\theta$ en radianes, entonces

$$s = r\theta$$

Si el ángulo está dado en grados, usa en su lugar

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Ambas fórmulas dicen lo mismo: la longitud de arco es la misma fracción de la circunferencia que el ángulo central representa de una vuelta completa.

Qué significa la longitud de arco

La longitud de arco no es la distancia en línea recta entre dos puntos. Es la longitud que medirías si siguieras la curva misma.

En un círculo, dos cosas controlan esa longitud. El radio indica qué tan grande es el círculo, y el ángulo central indica qué parte del círculo estás tomando.

Un radio mayor da un arco más largo. Un ángulo mayor también da un arco más largo.

Por qué $s = r\theta$ solo funciona con radianes

Los radianes se definen usando la longitud de arco. Un radián es el ángulo que recorta un arco de la misma longitud que el radio, así que cuando $\theta = 1$, la fórmula da $s = r$.

Por eso la fórmula con radianes es tan limpia. Un círculo completo tiene ángulo $2\pi$ radianes y circunferencia $2\pi r$, así que tomar una fracción $\frac{\theta}{2\pi}$ del círculo da

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

Si el ángulo está en grados, conviértelo primero o usa la fórmula para grados. La condición importa: $s = r\theta$ es correcta solo cuando $\theta$ está en radianes.

Ejemplo resuelto con un ángulo en grados

Supón que un círculo tiene radio $10$ m y ángulo central $72^\circ$. Como el ángulo está en grados, usa

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Sustituye $\theta = 72$ y $r = 10$:

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

Ahora simplifica:

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

Así que la longitud de arco exacta es $4\pi$ m.

Si quieres una aproximación decimal,

$$4\pi \approx 12.57$$

entonces la longitud de arco es aproximadamente $12.57$ m.

También puedes convertir $72^\circ$ a radianes:

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

Entonces

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

Ambos métodos coinciden, lo cual es una buena comprobación.

Errores comunes con la longitud de arco

1. Usar $s = r\theta$ cuando el ángulo todavía está en grados.
2. Usar el diámetro cuando la fórmula necesita el radio.
3. Confundir la longitud de arco con la longitud de la cuerda. La longitud de arco sigue la curva, mientras que una cuerda es el segmento recto entre los mismos extremos.
4. Confundir la longitud de arco con el área del sector. El área del sector usa una fórmula diferente.

Cuándo se usa la fórmula de la longitud de arco

La versión para círculos aparece en geometría, trigonometría y problemas aplicados con ruedas, engranajes, pistas circulares y rotación.

En cálculo, la idea se extiende a curvas generales. Si $y = f(x)$ es suficientemente suave en un intervalo $[a,b]$, la longitud de arco es

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

Esa fórmula es para la longitud de una gráfica, no solo de una parte de un círculo. La condición también importa aquí: la derivada debe existir en el intervalo, y la integral debe tener sentido.

Comprobación rápida antes de terminar

Si el ángulo se duplica y el radio se mantiene igual, la longitud de arco se duplica.

Si el radio se duplica y el ángulo se mantiene igual, la longitud de arco también se duplica.

Si tu respuesta no cambia de esa manera, vuelve a revisar la unidad del ángulo y si usaste el radio o el diámetro.

Prueba un problema similar

Intenta tu propia versión con radio $6$ cm y ángulo central $150^\circ$. Resuélvelo una vez con la fórmula para grados y otra convirtiendo primero a radianes. Si ambas respuestas coinciden, tu planteamiento es sólido.