호의 길이 공식

호의 길이 공식은 원의 일부를 따라 잰 거리를 구해 줍니다. 반지름이 $r$이고 중심각이 라디안 $\theta$인 원에서는

$$s = r\theta$$

를 사용합니다.

각이 도 단위로 주어졌다면 대신

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

를 사용합니다.

두 공식은 같은 뜻을 담고 있습니다. 중심각이 한 바퀴 전체에서 차지하는 비율만큼, 호의 길이도 원둘레에서 같은 비율을 차지합니다.

호의 길이의 의미

호의 길이는 두 점 사이의 직선거리가 아닙니다. 곡선 자체를 따라가며 잰 길이입니다.

원에서는 이 길이를 결정하는 요소가 두 가지 있습니다. 반지름은 원의 크기를 나타내고, 중심각은 원의 어느 정도 부분을 취하는지 나타냅니다.

반지름이 클수록 호의 길이는 길어집니다. 각이 클수록 역시 호의 길이는 길어집니다.

왜 $s = r\theta$는 라디안에서만 성립할까

라디안은 호의 길이를 바탕으로 정의됩니다. 1라디안은 길이가 반지름과 같은 호를 잘라내는 각이므로, $\theta = 1$이면 공식에서 $s = r$가 됩니다.

그래서 라디안 공식은 매우 간단합니다. 한 바퀴는 $2\pi$라디안이고 원둘레는 $2\pi r$이므로, 원의 $\frac{\theta}{2\pi}$만큼을 취하면

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

가 됩니다.

각이 도 단위라면 먼저 라디안으로 바꾸거나 도 단위 공식을 사용하세요. 이 조건은 중요합니다. $s = r\theta$는 $\theta$가 라디안일 때만 맞습니다.

도 단위 각을 사용한 예제

반지름이 $10$ m이고 중심각이 $72^\circ$인 원을 생각해 봅시다. 각이 도 단위이므로

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

를 사용합니다.

$\theta = 72$, $r = 10$을 대입하면

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

입니다.

이제 정리하면

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

가 됩니다.

따라서 정확한 호의 길이는 $4\pi$ m입니다.

소수 근삿값으로 나타내면

$$4\pi \approx 12.57$$

이므로 호의 길이는 약 $12.57$ m입니다.

또는 $72^\circ$를 라디안으로 바꿔서 풀 수도 있습니다.

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

그러면

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

가 됩니다.

두 방법의 답이 같으므로, 풀이가 올바른지 확인하는 좋은 점검이 됩니다.

호의 길이에서 자주 하는 실수

1. 각이 아직 도 단위인데 $s = r\theta$를 사용하는 것.
2. 공식에 반지름이 필요한데 지름을 사용하는 것.
3. 호의 길이와 현의 길이를 혼동하는 것. 호의 길이는 곡선을 따라가고, 현은 같은 양 끝점을 잇는 직선 구간입니다.
4. 호의 길이와 부채꼴의 넓이를 혼동하는 것. 부채꼴의 넓이는 다른 공식을 사용합니다.

호의 길이 공식은 언제 쓰일까

원의 경우는 기하, 삼각법, 그리고 바퀴, 기어, 원형 트랙, 회전이 나오는 응용 문제에서 자주 등장합니다.

미적분에서는 이 생각이 일반적인 곡선으로 확장됩니다. $y = f(x)$가 구간 $[a,b]$에서 충분히 매끄럽다면, 호의 길이는

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

로 주어집니다.

이 공식은 원의 일부만이 아니라 그래프의 길이를 구하는 공식입니다. 여기서도 조건이 중요합니다. 도함수가 그 구간에서 존재해야 하고, 적분도 의미가 있어야 합니다.

마무리 전에 빠른 점검

각이 두 배가 되고 반지름이 그대로라면 호의 길이도 두 배가 됩니다.

반지름이 두 배가 되고 각이 그대로라면 호의 길이도 두 배가 됩니다.

답이 이런 식으로 비례하지 않는다면, 각의 단위를 다시 확인하고 반지름을 썼는지 지름을 썼는지 점검하세요.

비슷한 문제를 풀어 보세요

반지름이 $6$ cm이고 중심각이 $150^\circ$인 경우를 직접 풀어 보세요. 한 번은 도 단위 공식으로, 또 한 번은 먼저 라디안으로 바꿔서 풀어 보세요. 두 답이 같다면 식을 올바르게 세운 것입니다.