Intégration par parties — Formule et exemples

L’intégration par parties aide à calculer des intégrales de produits comme $x e^x$ ou $x \ln x$ lorsque l’un des facteurs devient plus simple après dérivation. Le but n’est pas d’utiliser une formule compliquée pour elle-même. Le but est de transformer l’intégrale de départ en une intégrale plus facile.

Elle vient de l’inversion de la règle du produit. Si la nouvelle intégrale n’est pas plus simple, l’intégration par parties n’est probablement pas la bonne méthode.

Formule d’intégration par parties

Si vous choisissez une fonction $u$ et une partie différentielle $dv$, alors

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

C’est la formule d’intégration par parties. Elle n’est utile que si la nouvelle intégrale $\int v\,du$ est plus simple que l’intégrale de départ.

Pourquoi la formule fonctionne

Commencez par la règle du produit écrite sous forme différentielle :

$$d(uv) = u\,dv + v\,du$$

Intégrez les deux côtés par rapport à $x$ :

$$\int d(uv) = \int u\,dv + \int v\,du$$

Donc

$$uv = \int u\,dv + \int v\,du$$

et en réarrangeant, on obtient

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Vous n’avez pas besoin de la redémontrer à chaque fois, mais c’est pour cela que le signe moins apparaît.

Comment choisir $u$ et $dv$

Choisissez $u$ comme la partie qui devient plus simple après dérivation. Choisissez $dv$ comme la partie que vous pouvez intégrer sans trop de difficulté.

Une heuristique courante est LIATE : logarithmique, trigonométrique inverse, algébrique, trigonométrique, exponentielle. Ce n’est qu’un guide, pas une règle, mais cela aide souvent lorsque plusieurs choix semblent raisonnables.

En pratique, l’intégration par parties est fréquente quand vous voyez :

• un polynôme multiplié par $e^x$ ou par une fonction trigonométrique,
• un logarithme comme $\ln x$, souvent traité comme $\ln x \cdot 1$,
• une fonction trigonométrique inverse comme $\arctan x$.

Le meilleur test rapide est le suivant : après avoir choisi $u$, demandez-vous si $du$ est clairement plus simple. Si la réponse est non, essayez un autre choix.

Exemple détaillé : $\int x \ln x\,dx$

C’est un exemple classique parce que $\ln x$ devient beaucoup plus simple quand on le dérive. Réécrivez l’intégrande comme un produit :

$$\int x \ln x\,dx = \int (\ln x)(x)\,dx$$

La condition est importante ici : $\ln x$ est défini pour $x > 0$, donc on travaille sur ce domaine.

Choisissez

$$u = \ln x \qquad dv = x\,dx$$

Alors

$$du = \frac{1}{x}\,dx \qquad v = \frac{x^2}{2}$$

Appliquez la formule :

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx$$

Simplifiez l’intégrale restante :

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$

Puis intégrez :

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} + C$$

Donc la réponse finale est

$$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

Dérivez le résultat pour le vérifier :

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x$$

Cette vérification est le moyen le plus rapide de repérer les erreurs de signe.

Erreurs courantes en intégration par parties

1. Choisir $u$ et $dv$ de sorte que la nouvelle intégrale soit plus difficile que l’intégrale de départ.
2. Oublier le signe moins dans $uv - \int v\,du$.
3. Dériver correctement $u$ mais intégrer incorrectement $dv$.
4. Oublier que certaines expressions, comme $\ln x$, s’accompagnent de conditions sur le domaine.
5. Supposer que tout produit doit se traiter par intégration par parties. Parfois, une substitution ou une règle de base est préférable.

Quand l’intégration par parties est utile

Utilisez cette méthode lorsque l’intégrande a une structure qui s’améliore après une étape de dérivation. Les cas typiques incluent :

• polynôme fois exponentielle, comme $\int x e^x\,dx$,
• polynôme fois fonction trigonométrique, comme $\int x \cos x\,dx$,
• logarithmes ou fonctions trigonométriques inverses multipliés par $1$ ou par un autre facteur simple.

Si la méthode ne simplifie pas l’intégrale, arrêtez-vous et réévaluez la situation. L’intégration par parties est utile parce qu’elle réduit la complexité, pas parce que la formule s’applique mécaniquement.

Essayez un problème similaire

Essayez

$$\int x \sin x\,dx$$

Utilisez le même raisonnement : choisissez la partie qui se simplifie lorsqu’on la dérive, appliquez la formule une fois, puis dérivez votre réponse pour la vérifier.