Yay Uzunluğu Formülü

Yay uzunluğu formülü, çemberin bir parçası boyunca olan mesafeyi verir. Yarıçapı $r$ olan bir çemberde merkez açı $\theta$ radyan cinsindense,

$$s = r\theta$$

Açı bunun yerine derece cinsinden verilmişse,

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

kullanın.

Her iki formül de aynı şeyi söyler: yay uzunluğu, merkez açının tam dönüşün ne kadarını oluşturduğuyla aynı oranda çevrenin bir parçasıdır.

Yay uzunluğu ne anlama gelir?

Yay uzunluğu, iki nokta arasındaki düz çizgi uzaklığı değildir. Eğrinin kendisini izleyerek ölçeceğiniz uzunluktur.

Bir çemberde bu uzunluğu iki şey belirler. Yarıçap, çemberin ne kadar büyük olduğunu söyler; merkez açı ise çemberin ne kadarını aldığınızı gösterir.

Daha büyük bir yarıçap daha uzun bir yay verir. Daha büyük bir açı da daha uzun bir yay verir.

Neden $s = r\theta$ yalnızca radyanla çalışır?

Radyan, yay uzunluğu kullanılarak tanımlanır. Bir radyan, uzunluğu yarıçapa eşit olan bir yayı gören açıdır; bu yüzden $\theta = 1$ olduğunda formül $s = r$ verir.

Bu yüzden radyan formülü çok temizdir. Tam bir çemberin açısı $2\pi$ radyan ve çevresi $2\pi r$ olduğundan, çemberin $\frac{\theta}{2\pi}$ kadarını almak

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

sonucunu verir.

Açı derece cinsindeyse önce dönüştürün ya da derece formülünü kullanın. Bu koşul önemlidir: $s = r\theta$ yalnızca $\theta$ radyan olduğunda doğrudur.

Derece cinsinden açıyla çözülmüş örnek

Yarıçapı $10$ m ve merkez açısı $72^\circ$ olan bir çember düşünün. Açı derece cinsinden olduğu için

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

kullanın.

$\theta = 72$ ve $r = 10$ değerlerini yerine yazın:

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

Şimdi sadeleştirin:

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

Dolayısıyla tam yay uzunluğu $4\pi$ m'dir.

Ondalıklı yaklaşık değer isterseniz,

$$4\pi \approx 12.57$$

olduğundan yay uzunluğu yaklaşık $12.57$ m'dir.

$72^\circ$ açısını radyana da çevirebilirsiniz:

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

O zaman

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

olur.

İki yöntem de aynı sonucu verir; bu da iyi bir kontroldür.

Yay uzunluğunda sık yapılan hatalar

1. Açı hâlâ derece cinsindeyken $s = r\theta$ kullanmak.
2. Formül yarıçap isterken çapı kullanmak.
3. Yay uzunluğunu kiriş uzunluğuyla karıştırmak. Yay uzunluğu eğriyi izler, kiriş ise aynı uç noktalar arasındaki düz doğru parçasıdır.
4. Yay uzunluğunu daire dilimi alanıyla karıştırmak. Daire dilimi alanında farklı bir formül kullanılır.

Yay uzunluğu formülü ne zaman kullanılır?

Çembere ait sürüm; geometri, trigonometri ve tekerlekler, dişliler, dairesel pistler ve dönme ile ilgili uygulamalı problemlerde karşınıza çıkar.

Kalkülüste bu fikir genel eğrilere genişler. Eğer $y = f(x)$, $[a,b]$ aralığında yeterince düzgünse yay uzunluğu

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

şeklindedir.

Bu formül yalnızca çemberin bir parçası için değil, bir grafiğin uzunluğu içindir. Burada da koşul önemlidir: türev aralıkta var olmalı ve integral anlamlı olmalıdır.

Bitirmeden önce hızlı kontrol

Açı iki katına çıkarsa ve yarıçap aynı kalırsa yay uzunluğu da iki katına çıkar.

Yarıçap iki katına çıkarsa ve açı aynı kalırsa yay uzunluğu yine iki katına çıkar.

Cevabınız bu şekilde ölçeklenmiyorsa açı birimini ve yarıçap mı çap mı kullandığınızı yeniden kontrol edin.

Benzer bir soru deneyin

Yarıçapı $6$ cm ve merkez açısı $150^\circ$ olan kendi örneğinizi çözün. Bir kez derece formülüyle, bir kez de önce radyana çevirerek çözün. İki cevap eşleşiyorsa kurulumunuz sağlamdır.