Rumus Panjang Busur

Rumus panjang busur memberikan jarak sepanjang sebagian lingkaran. Jika sebuah lingkaran memiliki jari-jari $r$ dan sudut pusat $\theta$ dalam radian, maka

$$s = r\theta$$

Jika sudut diberikan dalam derajat, gunakan

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Kedua rumus menyatakan hal yang sama: panjang busur adalah pecahan yang sama dari keliling seperti sudut pusat merupakan pecahan dari satu putaran penuh.

Apa arti panjang busur

Panjang busur bukanlah jarak garis lurus antara dua titik. Panjang busur adalah panjang yang Anda ukur jika mengikuti kurvanya sendiri.

Dalam lingkaran, ada dua hal yang menentukan panjang itu. Jari-jari menunjukkan seberapa besar lingkarannya, dan sudut pusat menunjukkan seberapa banyak bagian lingkaran yang diambil.

Jari-jari yang lebih besar menghasilkan busur yang lebih panjang. Sudut yang lebih besar juga menghasilkan busur yang lebih panjang.

Mengapa $s = r\theta$ hanya berlaku untuk radian

Radian didefinisikan menggunakan panjang busur. Satu radian adalah sudut yang memotong busur dengan panjang sama dengan jari-jari, jadi ketika $\theta = 1$, rumusnya menghasilkan $s = r$.

Itulah sebabnya rumus radian sangat sederhana. Satu lingkaran penuh memiliki sudut $2\pi$ radian dan keliling $2\pi r$, sehingga mengambil pecahan $\frac{\theta}{2\pi}$ dari lingkaran menghasilkan

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

Jika sudut dinyatakan dalam derajat, ubah dulu atau gunakan rumus derajat. Syarat ini penting: $s = r\theta$ benar hanya ketika $\theta$ dinyatakan dalam radian.

Contoh soal dengan sudut derajat

Misalkan sebuah lingkaran memiliki jari-jari $10$ m dan sudut pusat $72^\circ$. Karena sudut dinyatakan dalam derajat, gunakan

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Substitusikan $\theta = 72$ dan $r = 10$:

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

Sekarang sederhanakan:

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

Jadi panjang busur eksaknya adalah $4\pi$ m.

Jika Anda ingin pendekatan desimal,

$$4\pi \approx 12.57$$

maka panjang busurnya sekitar $12.57$ m.

Anda juga bisa mengubah $72^\circ$ ke radian:

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

Lalu

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

Kedua metode memberikan hasil yang sama, dan itu adalah pemeriksaan yang baik.

Kesalahan umum pada panjang busur

1. Menggunakan $s = r\theta$ ketika sudut masih dalam derajat.
2. Menggunakan diameter padahal rumus memerlukan jari-jari.
3. Mengacaukan panjang busur dengan panjang tali busur. Panjang busur mengikuti kurva, sedangkan tali busur adalah ruas garis lurus antara dua titik ujung yang sama.
4. Mencampuradukkan panjang busur dengan luas juring. Luas juring menggunakan rumus yang berbeda.

Kapan rumus panjang busur digunakan

Versi lingkaran muncul dalam geometri, trigonometri, dan soal terapan yang melibatkan roda, gir, lintasan melingkar, dan rotasi.

Dalam kalkulus, gagasan ini meluas ke kurva umum. Jika $y = f(x)$ cukup mulus pada interval $[a,b]$, panjang busurnya adalah

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

Rumus itu digunakan untuk panjang suatu grafik, bukan hanya sebagian lingkaran. Syaratnya juga penting di sini: turunan harus ada pada interval tersebut, dan integralnya harus bermakna.

Pemeriksaan cepat sebelum selesai

Jika sudut menjadi dua kali lipat dan jari-jari tetap sama, panjang busur juga menjadi dua kali lipat.

Jika jari-jari menjadi dua kali lipat dan sudut tetap sama, panjang busur juga menjadi dua kali lipat.

Jika jawaban Anda tidak berubah seperti itu, periksa kembali satuan sudut dan apakah Anda menggunakan jari-jari atau diameter.

Coba soal serupa

Cobalah versi Anda sendiri dengan jari-jari $6$ cm dan sudut pusat $150^\circ$. Selesaikan sekali dengan rumus derajat dan sekali lagi dengan mengubah ke radian terlebih dahulu. Jika kedua jawaban cocok, berarti penyusunan Anda sudah benar.