弧の長さの公式

弧の長さの公式は、円の一部に沿った距離を求める公式です。半径が $r$、中心角がラジアンで $\theta$ のとき、

$$s = r\theta$$

となります。

角度が度数法で与えられている場合は、代わりに

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

を使います。

この2つの公式は同じ内容を表しています。弧の長さは、中心角が1周に対して占める割合と同じ割合だけ、円周の長さを取ったものです。

弧の長さとは何か

弧の長さは、2点を結ぶ直線距離ではありません。曲線そのものをなぞって測った長さです。

円では、その長さを決めるものが2つあります。半径は円の大きさを表し、中心角は円のどれだけの部分を取るかを表します。

半径が大きいほど弧は長くなります。角度が大きいほど弧も長くなります。

なぜ $s = r\theta$ はラジアンでしか使えないのか

ラジアンは弧の長さをもとに定義されています。1ラジアンとは、長さが半径に等しい弧を切り取る角のことなので、$\theta = 1$ のとき公式は $s = r$ になります。

これが、ラジアンでの公式がとても簡潔になる理由です。1周の角度は $2\pi$ ラジアン、円周は $2\pi r$ なので、円の $\frac{\theta}{2\pi}$ の部分を取ると

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

となります。

角度が度数法なら、先に変換するか度数法の公式を使います。この条件は重要です。$s = r\theta$ が正しいのは、$\theta$ がラジアンのときだけです。

度数法の角度を使った計算例

半径が $10$ m、中心角が $72^\circ$ の円を考えます。角度は度数法なので、

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

を使います。

$\theta = 72$、$r = 10$ を代入すると、

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

となります。

これを簡単にすると、

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

です。

したがって、正確な弧の長さは $4\pi$ m です。

小数で近似すると、

$$4\pi \approx 12.57$$

なので、弧の長さは約 $12.57$ m です。

また、$72^\circ$ をラジアンに直しても求められます。

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

したがって、

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

となります。

どちらの方法でも同じ答えになるので、よい確認になります。

弧の長さでよくある間違い

1. 角度がまだ度数法なのに $s = r\theta$ を使ってしまう。
2. 公式で半径が必要なのに直径を使ってしまう。
3. 弧の長さと弦の長さを混同する。弧の長さは曲線に沿った長さで、弦は同じ両端点を結ぶ直線の線分です。
4. 弧の長さと扇形の面積を混同する。扇形の面積には別の公式を使います。

弧の長さの公式はいつ使うか

円についてのこの公式は、幾何、三角比、そして車輪、歯車、円形トラック、回転に関する応用問題でよく出てきます。

微積分では、この考え方は一般の曲線にも広がります。$y = f(x)$ が区間 $[a,b]$ で十分になめらかなら、弧の長さは

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

で与えられます。

この公式は、円の一部だけでなくグラフの長さを求めるものです。ここでも条件は重要です。導関数がその区間で存在し、積分が意味をもつ必要があります。

解き終える前の簡単な確認

角度が2倍になり、半径が同じなら、弧の長さも2倍になります。

半径が2倍になり、角度が同じでも、弧の長さは2倍になります。

答えがそのように変化しないなら、角度の単位や、半径と直径を取り違えていないかを確認してください。

似た問題に挑戦してみよう

半径 $6$ cm、中心角 $150^\circ$ の場合で自分でも解いてみましょう。度数法の公式で1回、先にラジアンに直してもう1回解いてみてください。両方の答えが一致すれば、立式はしっかりできています。