弧长公式

弧长公式用来求圆上一段曲线的长度。如果一个圆的半径是 $r$，圆心角 $\theta$ 用弧度表示，那么

$$s = r\theta$$

如果角度给的是角度制，则使用

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

这两个公式表达的是同一个意思：弧长占圆周长的比例，等于圆心角占整周的比例。

弧长是什么意思

弧长不是两点之间的直线距离。它是沿着曲线本身测量得到的长度。

在圆中，这个长度由两个量决定。半径决定圆有多大，圆心角决定你取的是圆的哪一部分。

半径越大，弧长越长。角度越大，弧长也越长。

为什么 $s = r\theta$ 只适用于弧度

弧度本身就是用弧长来定义的。1 弧度表示所对弧长恰好等于半径的角，所以当 $\theta = 1$ 时，公式就得到 $s = r$。

这就是为什么弧度公式这么简洁。整圆的角度是 $2\pi$ 弧度，周长是 $2\pi r$，因此取整圆的 $\frac{\theta}{2\pi}$，就得到

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

如果角度是角度制，就先换算，或者直接使用角度制公式。这个条件很重要：只有当 $\theta$ 用弧度表示时，$s = r\theta$ 才成立。

含角度制的例题

假设一个圆的半径是 $10$ m，圆心角是 $72^\circ$。因为角度是角度制，所以使用

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

代入 $\theta = 72$ 和 $r = 10$：

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

现在化简：

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

所以精确的弧长是 $4\pi$ m。

如果需要小数近似值，

$$4\pi \approx 12.57$$

所以弧长约为 $12.57$ m。

你也可以先把 $72^\circ$ 换算成弧度：

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

然后

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

两种方法结果一致，这也是一个很好的检验。

弧长常见错误

1. 角度还是角度制时就直接使用 $s = r\theta$。
2. 公式需要半径时却用了直径。
3. 把弧长和弦长混淆。弧长沿着曲线，而弦是连接同一对端点的直线线段。
4. 把弧长和扇形面积混淆。扇形面积使用的是另一套公式。

弧长公式在什么时候使用

圆的弧长公式常见于几何、三角学，以及与车轮、齿轮、环形跑道和旋转有关的应用题中。

在微积分中，这个思想会推广到一般曲线。如果 $y = f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上足够光滑，那么弧长为

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

这个公式求的是函数图像的长度，而不只是圆的一部分。这里条件同样重要：导数必须在该区间上存在，而且积分本身必须有意义。

做完前快速检查

如果角度变成原来的两倍，而半径不变，那么弧长也应变成两倍。

如果半径变成原来的两倍，而角度不变，那么弧长同样也应变成两倍。

如果你的答案不满足这种变化关系，就重新检查角度单位，以及你用的是半径还是直径。

试做一道类似题

你可以自己试一题：半径为 $6$ cm，圆心角为 $150^\circ$。先用角度制公式求一次，再先换成弧度后再求一次。如果两个答案一致，说明你的设定是正确的。