Formula della lunghezza dell’arco

La formula della lunghezza dell’arco fornisce la distanza lungo una parte di una circonferenza. Se una circonferenza ha raggio $r$ e angolo al centro $\theta$ in radianti, allora

$$s = r\theta$$

Se invece l’angolo è dato in gradi, usa

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Entrambe le formule esprimono la stessa idea: la lunghezza dell’arco è la stessa frazione della circonferenza totale che l’angolo al centro rappresenta di un giro completo.

Che cosa significa lunghezza dell’arco

La lunghezza dell’arco non è la distanza in linea retta tra due punti. È la lunghezza che misureresti seguendo la curva stessa.

In una circonferenza, questa lunghezza dipende da due fattori. Il raggio indica quanto è grande la circonferenza, e l’angolo al centro indica quanta parte della circonferenza stai considerando.

Un raggio più grande produce un arco più lungo. Anche un angolo più grande produce un arco più lungo.

Perché $s = r\theta$ funziona solo con i radianti

I radianti sono definiti usando la lunghezza dell’arco. Un radiante è l’angolo che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio, quindi quando $\theta = 1$, la formula dà $s = r$.

Per questo la formula in radianti è così semplice. Un giro completo misura $2\pi$ radianti e la circonferenza vale $2\pi r$, quindi prendere una frazione $\frac{\theta}{2\pi}$ della circonferenza dà

$$\frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r = r\theta$$

Se l’angolo è espresso in gradi, prima convertilo oppure usa la formula con i gradi. La condizione è importante: $s = r\theta$ è corretta solo quando $\theta$ è in radianti.

Esempio svolto con un angolo in gradi

Supponiamo che una circonferenza abbia raggio $10$ m e angolo al centro $72^\circ$. Poiché l’angolo è espresso in gradi, usa

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

Sostituisci $\theta = 72$ e $r = 10$:

$$s = \frac{72}{360} \cdot 2\pi(10)$$

Ora semplifica:

$$s = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$

Quindi la lunghezza esatta dell’arco è $4\pi$ m.

Se vuoi un’approssimazione decimale,

$$4\pi \approx 12.57$$

quindi la lunghezza dell’arco è circa $12.57$ m.

Puoi anche convertire $72^\circ$ in radianti:

$$72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$$

Poi

$$s = r\theta = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = 4\pi$$

I due metodi danno lo stesso risultato, ed è un buon controllo.

Errori comuni sulla lunghezza dell’arco

1. Usare $s = r\theta$ quando l’angolo è ancora espresso in gradi.
2. Usare il diametro quando la formula richiede il raggio.
3. Confondere la lunghezza dell’arco con la lunghezza della corda. La lunghezza dell’arco segue la curva, mentre la corda è il segmento rettilineo tra gli stessi estremi.
4. Confondere la lunghezza dell’arco con l’area del settore circolare. L’area del settore usa una formula diversa.

Quando si usa la formula della lunghezza dell’arco

La versione per la circonferenza compare in geometria, trigonometria e nei problemi applicati con ruote, ingranaggi, piste circolari e rotazione.

Nel calcolo, l’idea si estende a curve generali. Se $y = f(x)$ è abbastanza regolare su un intervallo $[a,b]$, la lunghezza dell’arco è

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

Questa formula serve per la lunghezza del grafico di una funzione, non solo per una parte di circonferenza. Anche qui la condizione è importante: la derivata deve esistere sull’intervallo e l’integrale deve avere senso.

Controllo rapido prima di finire

Se l’angolo raddoppia e il raggio resta lo stesso, la lunghezza dell’arco raddoppia.

Se il raggio raddoppia e l’angolo resta lo stesso, anche la lunghezza dell’arco raddoppia.

Se la tua risposta non varia in questo modo, ricontrolla l’unità dell’angolo e verifica se hai usato il raggio o il diametro.

Prova un esercizio simile

Prova una tua versione con raggio $6$ cm e angolo al centro $150^\circ$. Risolvila una volta con la formula in gradi e una volta convertendo prima in radianti. Se le due risposte coincidono, l’impostazione è corretta.