Torsión — esfuerzo cortante en ejes

La fórmula de torsión te da el esfuerzo cortante dentro de un eje circular que transmite torque. Para un eje circular en torsión elástica lineal, el esfuerzo en el radio $r$ es

$$\tau = \frac{Tr}{J}$$

Aquí, $T$ es el torque aplicado y $J$ es el momento polar de área. En estas condiciones, el esfuerzo cortante es cero en el centro y máximo en la superficie exterior.

Para el esfuerzo cortante máximo, toma $r = R$:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$

Este resultado se usa para ejes circulares macizos y huecos cuando el modelo de torsión para ejes circulares es una buena aproximación.

Cuándo se aplica la fórmula de torsión

Usa $\tau = Tr/J$ cuando el elemento pueda modelarse como un eje circular en torsión elástica. Si la sección transversal no es circular, esta distribución de esfuerzos generalmente no se cumple.

Esa condición importa. La fórmula no es una regla universal para cualquier pieza sometida a torsión.

Qué significan $T$, $r$, $R$ y $J$

• $T$: torque aplicado
• $r$: distancia desde el centro del eje hasta el punto de interés
• $R$: radio exterior del eje
• $J$: momento polar de área de la sección transversal

Para ejes circulares comunes:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} \quad \text{para un eje circular macizo}$$ $$J = \frac{\pi \left(R_o^4 - R_i^4\right)}{2} \quad \text{para un eje circular hueco}$$

Por qué el esfuerzo aumenta al alejarse del centro

Un eje sometido a torsión no se corta por igual en todos sus puntos. El material más alejado del centro tiene que recorrer una trayectoria circular mayor cuando el eje gira, así que el efecto cortante aumenta con el radio.

Por eso la fórmula es proporcional a $r$. La línea central tiene $r = 0$, así que allí el esfuerzo cortante es cero. La superficie exterior tiene el mayor $r$, por lo que soporta el mayor esfuerzo cortante.

Ejemplo resuelto: esfuerzo cortante máximo en un eje macizo

Supón que un eje circular macizo tiene radio $R = 0.020\ \mathrm{m}$ y transmite un torque de $T = 120\ \mathrm{N \cdot m}$. Encuentra el esfuerzo cortante máximo.

Primero calcula el momento polar de área:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.020)^4}{2} \approx 2.51 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$$

Ahora usa la forma para esfuerzo máximo:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$ $$\tau_{\max} = \frac{(120)(0.020)}{2.51 \times 10^{-7}} \approx 9.55 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$$

Así que el esfuerzo cortante máximo es

$$\tau_{\max} \approx 9.6\ \mathrm{MPa}$$

Este ejemplo muestra claramente el patrón principal. Para el mismo tipo de eje, un torque mayor aumenta el esfuerzo, mientras que un momento polar $J$ mayor lo reduce.

Errores comunes con la fórmula de torsión

Usar la fórmula para la sección transversal equivocada

$\tau = Tr/J$ es el resultado estándar de torsión elástica para ejes circulares. Si la sección no es circular, o si el material está fuera del rango elástico supuesto, esta fórmula puede no describir correctamente el esfuerzo real.

Confundir $J$ con $I$

$J$ es el momento de área polar, no el momento de inercia de área $I$ que se usa en la flexión ordinaria de vigas. Confundirlos da una respuesta incorrecta.

Olvidar que el esfuerzo depende del radio

El esfuerzo no es uniforme en toda la sección del eje. Cambia con $r$, así que el valor en el centro no es el mismo que el valor en la superficie.

Perder la consistencia de unidades

Si el torque está en $\mathrm{N \cdot m}$, el radio en $\mathrm{m}$ y $J$ en $\mathrm{m^4}$, entonces el esfuerzo sale en $\mathrm{Pa}$. Mezclar milímetros y metros es una fuente común de error.

Dónde se usa la fórmula de torsión

La fórmula de torsión se usa cuando ingenieros y estudiantes de física necesitan estimar el esfuerzo cortante en ejes rotatorios, semiejes, barras de perforación, acoplamientos de motor y piezas similares que transmiten torque.

En la práctica, ayuda a responder una pregunta simple de diseño: ¿la geometría del eje es lo bastante grande para transmitir el torque sin superar un esfuerzo cortante admisible?

Prueba un problema similar

Mantén el mismo eje, pero duplica el torque. Como $\tau$ es proporcional a $T$, el esfuerzo cortante máximo también se duplica.

Si quieres probar tu propia versión con un radio diferente o con un eje hueco, resuelve un problema similar de torsión en GPAI Solver.