Elasticidad — esfuerzo, deformación, módulo de Young y ley de Hooke

La elasticidad explica cómo se deforma un material bajo una carga y luego vuelve a su forma original cuando se retira esa carga. Eso solo ocurre si el material permanece dentro de su rango elástico. Si la carga es demasiado grande, el material puede deformarse de manera permanente, así que las fórmulas elásticas simples dejan de aplicarse.

Para problemas sencillos de tracción o compresión, cuatro ideas hacen casi todo el trabajo:

• esfuerzo
• deformación
• módulo de Young
• ley de Hooke

Cuando conectas esas cuatro ideas, la mayoría de las preguntas introductorias sobre elasticidad se vuelven mucho más fáciles de resolver.

Qué significa la elasticidad

Si tiras de una barra, un alambre o una varilla, normalmente se alarga un poco. Cuanto más fuerte tires, más se estira. La elasticidad plantea dos preguntas prácticas:

1. ¿Qué carga interna está experimentando el material?
2. ¿Cuánto se deforma realmente?

El esfuerzo responde a la primera pregunta. La deformación responde a la segunda. El módulo de Young las relaciona cuando el material se comporta de forma lineal.

Esfuerzo vs. deformación

Para una barra simple sometida a tracción o compresión uniforme, el esfuerzo es la fuerza por unidad de área de la sección transversal:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

Aquí $F$ es la fuerza aplicada y $A$ es el área de la sección transversal. La unidad SI del esfuerzo es el pascal, donde $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$.

La deformación indica el cambio fraccional de longitud:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

Aquí $L_0$ es la longitud original y $\Delta L$ es el cambio de longitud. La deformación no tiene unidad porque es una razón.

Esa diferencia importa. El esfuerzo describe la carga interna por unidad de área. La deformación describe la deformación relativa que produce esa carga.

El módulo de Young mide la rigidez

En el rango elástico lineal, el esfuerzo y la deformación son proporcionales:

$$\sigma = E\epsilon$$

La constante $E$ es el módulo de Young. Indica cuánto esfuerzo se necesita para producir una determinada deformación en tracción o compresión simples.

Si $E$ es mayor, el material es más rígido en esa situación de carga. Para el mismo esfuerzo, se deformará menos. Eso no significa automáticamente que sea más difícil de romper. La rigidez y la resistencia son propiedades distintas del material.

Cuándo se aplica la ley de Hooke

La ley de Hooke es la idea de que, dentro de un rango elástico lineal, la deformación es proporcional a la carga.

Para un resorte, la forma de fuerza restauradora suele escribirse como

$$F = -kx$$

Para una barra o un alambre estirado en un régimen elástico lineal, la forma correspondiente del material es

$$\sigma = E\epsilon$$

Estas ideas están estrechamente relacionadas, pero no son la misma fórmula símbolo por símbolo. Ambas dependen de la misma condición: el comportamiento proporcional debe seguir siendo un buen modelo.

Ejemplo resuelto: hallar esfuerzo, deformación y alargamiento

Supón que una varilla metálica tiene:

• longitud original $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• área de la sección transversal $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• módulo de Young $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• fuerza de tracción aplicada $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

Halla el esfuerzo, la deformación y el alargamiento, suponiendo que la varilla permanece en el rango elástico lineal.

Empieza con el esfuerzo:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{1.0 \times 10^4}{1.0 \times 10^{-4}} = 1.0 \times 10^8\ \mathrm{Pa}$$

Ahora usa el módulo de Young para obtener la deformación:

$$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{1.0 \times 10^8}{2.0 \times 10^{11}} = 5.0 \times 10^{-4}$$

Luego halla el cambio de longitud:

$$\Delta L = \epsilon L_0 = (5.0 \times 10^{-4})(2.0) = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

Así que la varilla se alarga

$$\Delta L = 1.0\ \mathrm{mm}$$

Este ejemplo muestra la lógica en el orden correcto:

• la fuerza y el área dan el esfuerzo
• el esfuerzo y el módulo de Young dan la deformación
• la deformación y la longitud original dan el alargamiento

Errores comunes en problemas de elasticidad

Tratar el esfuerzo como si fuera solo fuerza

Una fuerza mayor no significa automáticamente un esfuerzo mayor si el área también cambia. El esfuerzo depende de ambas cosas.

Olvidar que la deformación no tiene unidad

La deformación es una razón como $0.001$ o $0.1\%$. No se mide en newtons ni en pascales.

Usar la ley de Hooke fuera de su rango válido

Si el material ha superado su comportamiento elástico lineal, $\sigma = E\epsilon$ puede dejar de describirlo bien. La deformación permanente es la señal de que el modelo simple ha dejado de ser válido.

Suponer que un módulo de Young mayor significa “más resistente”

Un material con mayor $E$ es más rígido, lo que significa que se deforma menos bajo el mismo esfuerzo. La resistencia trata de cuánto esfuerzo puede soportar antes de fluir o romperse, que es una cuestión distinta.

Dónde se usa la elasticidad

La elasticidad es importante en el diseño estructural, los resortes, las piezas de máquinas, el control de vibraciones, los ensayos de materiales y cualquier situación en la que pequeñas deformaciones afecten al rendimiento. Ayuda a explicar por qué una regla de acero se dobla muy poco bajo una carga dada, mientras que una tira de goma se estira mucho más bajo un patrón de carga similar.

Su valor práctico es simple: la elasticidad te da una forma de predecir si un material se deformará poco, se deformará mucho o saldrá por completo del rango lineal seguro.

Prueba un problema similar de elasticidad

Mantén la misma varilla, pero duplica la fuerza. Si el material sigue dentro del rango elástico lineal, el esfuerzo, la deformación y el alargamiento también se duplican.

Si quieres comentarios paso a paso sobre tus propios números, prueba un problema similar de elasticidad en GPAI Solver.