Fórmula de deflexión de vigas

Una fórmula de deflexión de vigas te dice cuánto se dobla una viga bajo carga. Si buscaste la fórmula de deflexión de vigas, la idea clave es esta: no existe una sola fórmula para todas las vigas. La expresión correcta depende de la condición de apoyo, el patrón de carga y la rigidez a flexión $E I$.

Uno de los casos más comunes es una viga en voladizo con una carga puntual en el extremo libre:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Esta fórmula solo es útil cuando ese caso exacto de viga y las suposiciones habituales de pequeña deflexión y elasticidad lineal son razonables.

De qué depende la deflexión de una viga

La idea física es simple. Las cargas crean momentos flectores, y la viga resiste esa flexión mediante $E I$.

• $E$ es el módulo de Young, así que indica cuán rígido es el material en sí.
• $I$ es el segundo momento de área, así que indica cómo la sección transversal resiste la flexión respecto a un eje elegido.
• $E I$ se llama rigidez a flexión.

Para una viga de Euler-Bernoulli con pendientes pequeñas, la curvatura se relaciona con el momento flector mediante

$$\kappa(x) = \frac{M(x)}{E I}$$

según la convención de signos. Por eso todas las fórmulas de deflexión de vigas siguen el mismo patrón: momentos mayores producen más flexión, mientras que un $E I$ mayor la reduce.

Una fórmula común de deflexión de vigas: voladizo con carga en el extremo

Para una viga en voladizo de longitud $L$ con una carga puntual $P$ en el extremo libre, la deflexión máxima ocurre en la punta y tiene magnitud

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Aquí,

• $P$ es la carga aplicada
• $L$ es la longitud de la viga
• $E$ es el módulo de Young
• $I$ es el segundo momento de área

Usa esta fórmula solo si estas condiciones coinciden con el problema:

• la viga está empotrada en un extremo y libre en el otro
• la carga actúa en el extremo libre
• el material permanece en el rango elástico lineal
• las deflexiones y las pendientes son lo bastante pequeñas para que la teoría de vigas sea una buena aproximación
• la viga es lo bastante esbelta para que la teoría de Euler-Bernoulli sea razonable
• se desprecia la deformación por cortante

El término $L^3$ es la parte que conviene notar. Si todo lo demás se mantiene igual y la longitud se duplica, la deflexión en la punta pasa a ser $2^3 = 8$ veces mayor.

Ejemplo resuelto con números

Supón que una viga en voladizo tiene

• $P = 120\ \mathrm{N}$
• $L = 1.5\ \mathrm{m}$
• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$

Usa la fórmula del voladizo con carga en la punta:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Sustituye los valores y mantén unidades SI en todo momento:

$$\delta_{max} = \frac{120(1.5)^3}{3(200 \times 10^9)(4.0 \times 10^{-6})}$$

Como $(1.5)^3 = 3.375$, esto queda

$$\delta_{max} = \frac{405}{2.4 \times 10^6}\ \mathrm{m}$$ $$\delta_{max} \approx 1.69 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

Así que la deflexión en la punta es

$$0.000169\ \mathrm{m} = 0.169\ \mathrm{mm}$$

Eso es muy pequeño en comparación con una luz de $1.5\ \mathrm{m}$, así que la suposición de pequeña deflexión es al menos plausible en este ejemplo.

Errores comunes con las fórmulas de deflexión de vigas

Tratar una fórmula como si fuera universal

La fórmula de carga en la punta para un voladizo no se aplica a una viga simplemente apoyada, a una carga uniformemente distribuida ni a una viga con una condición de apoyo distinta. La expresión correcta cambia según el caso.

Confundir $I$

Aquí, $I$ significa el segundo momento de área de la sección transversal. No es corriente eléctrica ni es el momento de inercia de masa.

Ignorar las unidades

Las fórmulas de vigas son muy sensibles a las unidades porque $I$ suele tener unidades de $\mathrm{m^4}$ o $\mathrm{mm^4}$. Un error de unidades puede cambiar la respuesta por un factor de millones.

Usar la fórmula fuera de sus suposiciones

Si las deflexiones son grandes, el material fluye, la viga no es esbelta o $E I$ cambia a lo largo de la luz, una fórmula sencilla de libro puede dejar de ser fiable.

Cuándo se usa la fórmula de deflexión de vigas

Las fórmulas de deflexión de vigas se usan cuando necesitas rigidez, no solo resistencia. Una viga puede ser lo bastante resistente para no romperse y aun así deformarse demasiado para su función.

Eso importa en estructuras, componentes de máquinas, montajes de laboratorio, estanterías y elementos largos donde la alineación o la aptitud de servicio son importantes. En la práctica, los ingenieros suelen comprobar tanto la tensión como la deflexión porque son límites de diseño distintos.

Prueba un problema similar

Mantén el mismo ejemplo de voladizo y duplica solo la longitud $L$. Predice la nueva deflexión en la punta a partir del término $L^3$ antes de calcularla. Luego prueba una condición de apoyo o un tipo de carga diferente y compara qué partes de la fórmula cambian.