Gráficas de rectas: $y = mx + c$ y rectas paralelas

Las gráficas de rectas muestran relaciones lineales, donde la tasa de cambio se mantiene constante. En la forma habitual $y = mx + c$, $m$ indica la pendiente y $c$ indica la intersección con el eje $y$, así que puedes ver rápidamente cómo se comporta la recta y si dos rectas son paralelas.

Qué te dice $y = mx + c$

En la ecuación

$$y = mx + c$$

$m$ es la pendiente. Mide cuánto cambia $y$ cuando $x$ aumenta en $1$.

$c$ es la intersección con el eje $y$. Es el valor de $y$ cuando $x = 0$, así que la recta corta el eje $y$ en $(0, c)$.

Esta forma describe rectas no verticales. Las rectas verticales también son rectas, pero tienen ecuaciones como $x = 4$, así que no pueden escribirse como $y = mx + c$.

Cómo cambia la gráfica según la pendiente

Si $m$ es positiva, la recta sube de izquierda a derecha. Si $m$ es negativa, la recta baja de izquierda a derecha. Si $m = 0$, la recta es horizontal.

Por ejemplo, si

$$y = 3x + 2$$

entonces cada vez que $x$ aumenta en $1$, $y$ aumenta en $3$. La recta corta el eje $y$ en $(0, 2)$, así que empieza $2$ unidades por encima del origen.

Ejemplo resuelto: representa $y = 2x + 1$

Toma la recta

$$y = 2x + 1$$

Empieza con la intersección. Cuando $x = 0$, $y = 1$, así que la recta pasa por $(0, 1)$.

Ahora usa la pendiente. Como $m = 2$, al moverte $1$ unidad a la derecha, $y$ aumenta en $2$. Eso te da un segundo punto, $(1, 3)$.

Puedes comprobar otro punto más de la misma manera:

$$x = 2 \Rightarrow y = 2(2) + 1 = 5$$

Así que $(2, 5)$ está en la misma recta. Una vez que tienes dos puntos correctos, puedes dibujar la recta que pasa por ellos.

Cómo saber si dos rectas son paralelas

Dos rectas no verticales son paralelas cuando tienen la misma pendiente y distintas intersecciones.

Por ejemplo,

$$y = 2x + 1$$

y

$$y = 2x - 3$$

son paralelas porque ambas tienen pendiente $2$. Suben al mismo ritmo, así que nunca se cruzan. Sus intersecciones son distintas, así que son rectas diferentes y no la misma recta.

También existe una versión de esta idea para rectas verticales. Rectas como $x = 1$ y $x = 5$ son paralelas entre sí.

Errores comunes con las gráficas de rectas

Confundir $c$ con la intersección con el eje $x$

En $y = mx + c$, el número $c$ es la intersección con el eje $y$, no con el eje $x$. Te dice dónde corta la recta al eje $y$.

Suponer que pendientes iguales siempre significan rectas paralelas diferentes

Si dos ecuaciones tienen la misma pendiente y la misma intersección, son la misma recta. Para que sean paralelas como dos rectas no verticales distintas, las pendientes deben coincidir y las intersecciones deben ser diferentes.

Olvidar las rectas verticales

$y = mx + c$ no representa rectas verticales. Si una gráfica es una recta vertical, su ecuación tiene la forma $x = a$.

Dónde se usan las gráficas de rectas

Las gráficas de rectas aparecen siempre que una cantidad cambia a una tasa constante con respecto a otra. Algunos ejemplos comunes son los modelos de precio fijo más coste por artículo, la distancia recorrida a velocidad constante y las conversiones de unidades escritas en forma lineal.

Son importantes porque conectan el álgebra y las gráficas de forma directa: la ecuación te dice el patrón y la gráfica te permite verlo.

Prueba un problema parecido

Escribe dos ecuaciones con la misma pendiente, como $y = -x + 4$ y $y = -x - 1$. Representa primero la intersección y luego usa la pendiente para obtener un segundo punto de cada recta. Verás que pendientes iguales crean rectas paralelas.

Si quieres explorar otro caso, prueba tu propia versión de una hoja de ejercicios y comprueba si la gráfica, la pendiente y la intersección coinciden.