Cómo calcular la pendiente

Para calcular la pendiente, divide el cambio en $y$ entre el cambio en $x$. Si conoces dos puntos, usa la fórmula de la pendiente

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

siempre que $x_2 \ne x_1$. Esta es la misma idea de subida entre avance: cuánto sube o baja la recta en comparación con cuánto avanza hacia la derecha.

La pendiente te dice qué tan rápido cambia una recta. Una pendiente positiva significa que la recta sube de izquierda a derecha, una pendiente negativa significa que baja, y una pendiente de $0$ significa que la recta es horizontal.

Si $x_2 - x_1 = 0$, la recta es vertical. En ese caso, la pendiente no está definida porque la fórmula requeriría dividir entre $0$.

Qué significa la pendiente

La pendiente es una tasa de cambio. Compara cuánto cambia $y$ con cuánto cambia $x$.

Por eso la pendiente aparece en álgebra, gráficas y tablas de datos. La misma idea funciona en cualquier situación donde una relación cambia a una tasa constante.

Cómo calcular la pendiente con dos puntos

Usa el mismo orden de resta en el numerador y en el denominador:

1. Elige los dos puntos.
2. Resta los valores de $y$ para obtener el cambio en $y$.
3. Resta los valores de $x$ en el mismo orden para obtener el cambio en $x$.
4. Divide.
5. Simplifica si es posible.

Si inviertes ambos órdenes de resta, la pendiente sigue siendo la misma. Si inviertes solo uno, el signo será incorrecto.

Ejemplo resuelto: calcular la pendiente entre dos puntos

Calcula la pendiente de la recta que pasa por $(2, 3)$ y $(5, 9)$.

Empieza con la fórmula:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Sustituye las coordenadas en el mismo orden:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

La pendiente es $2$. Eso significa que cada vez que $x$ aumenta en $1$, $y$ aumenta en $2$.

También puedes leer esto como subida entre avance. De $(2, 3)$ a $(5, 9)$, la recta sube $6$ y avanza $3$, así que la pendiente es $6/3 = 2$.

Cómo calcular la pendiente a partir de una gráfica

Elige dos puntos claros de la cuadrícula sobre la recta. Cuenta primero el cambio vertical y luego el cambio horizontal.

Si subes $4$ y avanzas $2$ a la derecha, la pendiente es

$$\frac{4}{2} = 2$$

Si bajas $3$ y avanzas $1$ a la derecha, la pendiente es

$$\frac{-3}{1} = -3$$

Usar puntos en intersecciones de la cuadrícula ayuda a evitar errores al contar.

Cómo calcular la pendiente a partir de una tabla

Una tabla da una pendiente solo cuando la tasa de cambio es constante. Elige dos filas y calcula

$$\frac{\text{cambio en } y}{\text{cambio en } x}$$

Si obtienes el mismo valor con diferentes pares de filas, la relación es lineal y ese valor constante es la pendiente.

Por ejemplo, si $x$ aumenta de $1$ a $3$ mientras $y$ aumenta de $4$ a $10$, entonces

$$m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Errores comunes al calcular la pendiente

Un error común es restar en órdenes diferentes. Si usas $y_2 - y_1$, también debes usar $x_2 - x_1$.

Otro error es decir que la pendiente de una recta vertical es $0$. Si dos puntos tienen el mismo valor de $x$, el denominador es $0$, así que la pendiente no está definida.

Un tercer error es suponer que cualquier tabla tiene pendiente. Una tabla tiene una sola pendiente solo si la tasa de cambio se mantiene constante.

Cuándo se usa la pendiente

La pendiente se usa siempre que quieras describir cómo cambia una cantidad en comparación con otra. La ves al graficar rectas, escribir ecuaciones lineales, usar fórmulas de física con tasas constantes y analizar tablas de datos que siguen un patrón lineal.

Inténtalo tú mismo

Calcula la pendiente entre $(1, -2)$ y $(4, 7)$. Escribe el paso de la resta antes de simplificar y luego decide si la recta sube o baja cuando $x$ aumenta.

Si quieres un caso más, prueba tu propia versión con dos puntos nuevos y verifica que el denominador siga siendo distinto de cero antes de dividir.