Fórmula de la distancia — entre dos puntos en 2D y 3D

La fórmula de la distancia da la distancia en línea recta entre dos puntos en un plano de coordenadas o en el espacio 3D. Para los puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ en 2D,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Para los puntos $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ en 3D,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Usa esta fórmula cuando quieras la longitud real entre dos puntos, no solo el cambio horizontal o vertical. Se aplica en coordenadas cartesianas estándar cuando cada eje usa la misma escala de unidades.

Fórmula de la distancia en 2D: qué mide

La fórmula combina dos cambios perpendiculares: cuánto te desplazas en $x$ y cuánto te desplazas en $y$. Esos cambios forman los catetos de un triángulo rectángulo, y la distancia entre los puntos es la hipotenusa.

Por qué funciona la fórmula de la distancia

En el plano, la fórmula de la distancia sale directamente del teorema de Pitágoras. Si

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

y

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

entonces

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

así que

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

Por eso, la fórmula no es una regla aparte que haya que memorizar. Es el teorema de Pitágoras escrito en forma de coordenadas.

En 3D, añades un cambio perpendicular más:

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

Es la misma idea extendida a una dimensión más.

Ejemplo resuelto: distancia entre dos puntos

Halla la distancia entre $(1, 2)$ y $(5, 7)$.

Empieza con la fórmula de la distancia en 2D:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Sustituye las coordenadas:

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

Simplifica las diferencias:

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

Eleva al cuadrado y suma:

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

Así que la distancia exacta es $\sqrt{41}$. En decimal, $d \approx 6.4$.

Una comprobación rápida ayuda. Los puntos están separados $4$ unidades horizontalmente y $5$ unidades verticalmente, así que la distancia en línea recta debe ser mayor que $5$ pero menor que $9$. $\sqrt{41}$ encaja con eso.

Fórmula de la distancia en 3D

La idea es la misma, pero ahora incluyes el cambio en $z$.

Por ejemplo, entre $(1, 2, 3)$ y $(5, 7, 6)$, los cambios de coordenadas son $4$, $5$ y $3$, así que

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

El método no cambia. Restas las coordenadas correspondientes, elevas al cuadrado las diferencias, las sumas y tomas la raíz cuadrada positiva.

Errores comunes con la fórmula de la distancia

1. Elevar al cuadrado antes de restar. La fórmula usa $(x_2 - x_1)^2$, no $x_2^2 - x_1^2$.
2. Olvidar la raíz cuadrada. Si te detienes después de sumar los cuadrados, encontraste $d^2$, no $d$.
3. Mezclar los ejes. Una coordenada $x$ debe emparejarse con la otra coordenada $x$, y lo mismo ocurre con $y$ y $z$.
4. Perder un signo negativo al sustituir. Por ejemplo, $-1 - 3 = -4$, no $4$.
5. Usar la fórmula cuando la gráfica no usa distancia cartesiana estándar. Si los ejes usan escalas diferentes, la distancia geométrica cambia.

Cuándo usar la fórmula de la distancia

Usas la fórmula de la distancia en geometría analítica siempre que se den dos puntos y el problema pida la longitud del segmento entre ellos.

Algunos casos comunes son hallar longitudes de lados en una gráfica, comprobar si un punto está sobre una circunferencia, comparar distancias desde un centro y medir la separación en línea recta en geometría 3D.

Comprobación rápida antes de confiar en la respuesta

Hazte dos preguntas:

1. ¿Resté primero y elevé al cuadrado después?
2. ¿La distancia final tiene un tamaño razonable en comparación con los cambios de coordenadas?

Esas dos comprobaciones detectan la mayoría de los errores rápidamente.

Prueba un problema similar

Halla la distancia entre $(-2, 3)$ y $(4, -1)$ en 2D. Luego compara tu planteamiento con la Fórmula del punto medio para ver la diferencia entre hallar una longitud y hallar un punto a mitad del segmento.