Fórmulas de integración — tabla completa de integrales

Una tabla de integrales es una lista de antiderivadas estándar. Úsala cuando el integrando ya coincide con un patrón conocido como $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$ o una función trigonométrica básica.

Ninguna tabla finita es literalmente completa para toda integral posible. En la práctica, una "tabla completa de integrales" se refiere a las fórmulas estándar que los estudiantes usan con más frecuencia, más el criterio suficiente para reconocer cuándo un problema no encaja en la tabla.

Para qué te sirve una tabla de integrales

La tabla es, sobre todo, una herramienta de reconocimiento de patrones. Si la expresión ya está en una forma estándar, puedes integrar directamente. Si no lo está, la tabla te ayuda a ver que probablemente necesitas otro método, como la sustitución $u$ o la integración por partes.

En las integrales indefinidas, el objetivo es encontrar una función $F(x)$ tal que

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

donde $F'(x) = f(x)$. La constante $C$ es necesaria porque las derivadas de las constantes son cero.

Tabla básica de integrales que debes conocer

Estas son las entradas a las que normalmente se refiere la gente cuando pide una tabla de integrales.

Tipo	Fórmula	Condición
Regla de la potencia	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
Caso logarítmico	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
Exponencial natural	$\int e^x\,dx = e^x + C$	ninguna
Exponencial de base $a$	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
Seno	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	ninguna
Coseno	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	ninguna
Secante al cuadrado	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	donde esté definida
Cosecante al cuadrado	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	donde esté definida
Cuadrática recíproca	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	ninguna
Forma de arco seno	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	válida en intervalos con $

La regla de linealidad es tan importante como cualquier entrada individual:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Esto te permite separar sumas y sacar constantes. En general, no te permite separar un producto.

Entradas comunes de la tabla con $ax$ o $ax+b$

Una fórmula básica suele reaparecer con $ax$ o $ax+b$ en su interior. Si $a \ne 0$, estos son resultados directos comunes:

Tipo	Fórmula	Condición
Potencia con término lineal interior	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
Forma logarítmica con término lineal interior	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
Exponencial con exponente lineal	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
Seno con ángulo lineal	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
Coseno con ángulo lineal	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

Estas no son ideas nuevas. Son las mismas antiderivadas estándar con un ajuste por factor constante.

La excepción de la regla de la potencia: $\frac{1}{x}$

La regla de la potencia no funciona para $n=-1$. Ese caso se convierte en

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Si intentas forzar la regla de la potencia, el denominador se vuelve $n+1=0$, lo cual no está permitido. Esta es la excepción estándar que conviene memorizar desde el principio.

Ejemplo resuelto: usar la tabla paso a paso

Calcula

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

Cada término coincide con un patrón estándar, aunque no siempre con el más básico.

Usa la linealidad para separar la integral:

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

Para el primer término, usa la regla de la potencia:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

Para el segundo término, usa la forma logarítmica con una expresión lineal interior. Como el denominador es $x+1$, aquí $a=1$, así que

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

Para el tercer término, usa la fórmula del coseno con un ángulo lineal:

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

Combina los resultados:

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

Esta respuesta es válida en intervalos donde $x \ne -1$, porque el integrando original no está definido en $x=-1$.

La comprobación más rápida es derivar:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

Eso te devuelve al integrando original, así que la antiderivada es consistente.

Errores comunes al usar una tabla de integrales

• Hacer coincidir el patrón equivocado. Si el integrando es un producto como $xe^x$ o una composición como $\cos(x^2)$, una consulta directa en la tabla normalmente no basta.
• Olvidar el factor de escala. Por ejemplo, $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, no simplemente $\sin(2x) + C$.
• Usar la regla de la potencia con $\frac{1}{x}$. Ese caso es logarítmico, no otra potencia.
• Omitir el $+C$. Una integral indefinida representa una familia de antiderivadas, no una sola función.

Cuándo basta una tabla de integrales

Una tabla de integrales basta cuando el integrando ya está en forma estándar o puede separarse en partes estándar sacando las constantes fuera.

No basta cuando la estructura incluye un producto, cociente o expresión anidada que no coincide directamente con una entrada de la tabla. En esos casos, la tabla sigue ayudando porque te indica qué forma intentas alcanzar después de reescribir o hacer una sustitución.

Intenta una integral similar

Intenta

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

Antes de calcular, nombra la fórmula que corresponde a cada término y observa dónde aparece un factor constante. Luego deriva tu resultado para comprobarlo.