Công thức nguyên hàm — Bảng nguyên hàm đầy đủ

Bảng nguyên hàm là danh sách các nguyên hàm chuẩn. Bạn dùng nó khi hàm dưới dấu tích phân đã khớp với một dạng quen thuộc như $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$ hoặc một hàm lượng giác cơ bản.

Không có bảng hữu hạn nào thực sự đầy đủ cho mọi tích phân có thể có. Trong thực tế, "bảng nguyên hàm đầy đủ" thường có nghĩa là các công thức chuẩn mà học sinh dùng thường xuyên nhất, kèm theo khả năng nhận ra khi nào một bài toán không khớp trực tiếp với bảng.

Bảng nguyên hàm giúp bạn làm gì

Bảng này chủ yếu là công cụ nhận dạng mẫu. Nếu biểu thức đã ở dạng chuẩn, bạn có thể lấy nguyên hàm trực tiếp. Nếu chưa, bảng sẽ giúp bạn nhận ra rằng có lẽ cần một phương pháp khác như đổi biến $u$ hoặc tích phân từng phần.

Với nguyên hàm bất định, mục tiêu là tìm một hàm $F(x)$ sao cho

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

trong đó $F'(x) = f(x)$. Hằng số $C$ là cần thiết vì đạo hàm của hằng số bằng 0.

Bảng nguyên hàm cơ bản bạn nên biết

Đây là những công thức mà người ta thường muốn nói đến khi hỏi về bảng nguyên hàm.

Loại	Công thức	Điều kiện
Quy tắc lũy thừa	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
Trường hợp logarit	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
Hàm mũ cơ số $e$	$\int e^x\,dx = e^x + C$	không có
Hàm mũ cơ số $a$	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
Sin	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	không có
Cos	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	không có
Bình phương sec	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	tại những điểm xác định
Bình phương cosec	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	tại những điểm xác định
Phân thức bậc hai nghịch đảo	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	không có
Dạng arcsin	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	đúng trên các khoảng có $

Tính tuyến tính cũng quan trọng như bất kỳ công thức riêng lẻ nào:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Điều này cho phép bạn tách tổng và đưa hằng số ra ngoài. Nói chung, nó không cho phép bạn tách một tích.

Các công thức thường gặp với $ax$ hoặc $ax+b$

Một công thức cơ bản thường xuất hiện lại với $ax$ hoặc $ax+b$ ở bên trong. Nếu $a \ne 0$, đây là các kết quả trực tiếp thường gặp:

Loại	Công thức	Điều kiện
Lũy thừa với biểu thức bậc nhất bên trong	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
Dạng log với biểu thức bậc nhất bên trong	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
Hàm mũ với số mũ bậc nhất	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
Sin với góc bậc nhất	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
Cos với góc bậc nhất	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

Đây không phải là ý tưởng mới. Chúng vẫn là các nguyên hàm chuẩn quen thuộc, chỉ có thêm hệ số điều chỉnh là hằng số.

Ngoại lệ của quy tắc lũy thừa: $\frac{1}{x}$

Quy tắc lũy thừa không áp dụng cho $n=-1$. Khi đó ta có

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Nếu bạn cố áp dụng quy tắc lũy thừa, mẫu số sẽ thành $n+1=0$, điều này không được phép. Đây là ngoại lệ chuẩn mà bạn nên ghi nhớ sớm.

Ví dụ mẫu: dùng bảng từng bước

Tính

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

Mỗi hạng tử đều khớp với một dạng chuẩn, nhưng không phải lúc nào cũng là dạng cơ bản đơn giản nhất.

Dùng tính tuyến tính để tách tích phân:

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

Với hạng tử thứ nhất, dùng quy tắc lũy thừa:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

Với hạng tử thứ hai, dùng dạng logarit có biểu thức bậc nhất bên trong. Vì mẫu số là $x+1$, ở đây $a=1$, nên

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

Với hạng tử thứ ba, dùng công thức cos với góc bậc nhất:

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

Gộp các kết quả lại:

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

Đáp án này đúng trên các khoảng mà $x \ne -1$, vì hàm dưới dấu tích phân ban đầu không xác định tại $x=-1$.

Cách kiểm tra nhanh nhất là lấy đạo hàm:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

Kết quả quay lại đúng hàm dưới dấu tích phân ban đầu, nên nguyên hàm là nhất quán.

Những lỗi thường gặp khi dùng bảng nguyên hàm

• Ghép nhầm mẫu. Nếu hàm dưới dấu tích phân là một tích như $xe^x$ hoặc một hợp thành như $\cos(x^2)$, thì tra bảng trực tiếp thường là chưa đủ.
• Quên hệ số tỉ lệ. Ví dụ, $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, không phải chỉ là $\sin(2x) + C$.
• Dùng quy tắc lũy thừa cho $\frac{1}{x}$. Trường hợp này là logarit, không phải một lũy thừa thông thường.
• Bỏ mất $+C$. Một nguyên hàm bất định biểu diễn cả một họ nguyên hàm, không phải chỉ một hàm duy nhất.

Khi nào bảng nguyên hàm là đủ

Bảng nguyên hàm là đủ khi hàm dưới dấu tích phân đã ở dạng chuẩn hoặc có thể tách thành các phần chuẩn sau khi đưa hằng số ra ngoài.

Nó không đủ khi cấu trúc có tích, thương hoặc biểu thức lồng nhau mà không khớp trực tiếp với một công thức trong bảng. Trong những trường hợp đó, bảng vẫn hữu ích vì nó cho bạn biết dạng mà bạn đang cố đạt tới sau khi biến đổi hoặc đổi biến.

Thử một tích phân tương tự

Hãy thử

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

Trước khi tính, hãy gọi tên công thức phù hợp cho từng hạng tử và lưu ý chỗ nào xuất hiện hệ số hằng. Sau đó lấy đạo hàm kết quả để kiểm tra.