Integrationsformeln — Vollständige Tabelle der Integrale

Eine Integraltabelle ist eine Liste standardmäßiger Stammfunktionen. Du verwendest sie, wenn der Integrand bereits zu einem bekannten Muster passt, etwa $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$ oder einer grundlegenden trigonometrischen Funktion.

Keine endliche Tabelle ist für jedes mögliche Integral im wörtlichen Sinn vollständig. In der Praxis bedeutet eine „vollständige Integraltabelle“ die Standardformeln, die Schülerinnen und Schüler am häufigsten verwenden, plus genug Urteilsvermögen, um zu erkennen, wann eine Aufgabe nicht zur Tabelle passt.

Wobei dir eine Integraltabelle hilft

Die Tabelle ist vor allem ein Werkzeug zur Mustererkennung. Wenn der Ausdruck bereits in einer Standardform vorliegt, kannst du direkt integrieren. Wenn nicht, hilft dir die Tabelle zu erkennen, dass du wahrscheinlich eine andere Methode wie die $u$-Substitution oder partielle Integration brauchst.

Bei unbestimmten Integralen ist das Ziel, eine Funktion $F(x)$ zu finden, sodass

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

gilt, wobei $F'(x) = f(x)$ ist. Die Konstante $C$ ist notwendig, weil die Ableitung von Konstanten null ist.

Grundlegende Integraltabelle, die du kennen solltest

Das sind die Einträge, die meist gemeint sind, wenn nach einer Integraltabelle gefragt wird.

Typ	Formel	Bedingung
Potenzregel	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
Logarithmischer Fall	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
Natürliche Exponentialfunktion	$\int e^x\,dx = e^x + C$	keine
Exponentialfunktion zur Basis $a$	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
Sinus	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	keine
Kosinus	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	keine
Sekans zum Quadrat	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	wo definiert
Kosekans zum Quadrat	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	wo definiert
Reziproke quadratische Funktion	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	keine
Arkussinus-Form	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	gültig auf Intervallen mit $

Die Linearitätsregel ist genauso wichtig wie jeder einzelne Eintrag:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Damit kannst du Summen aufspalten und Konstanten herausziehen. Ein Produkt darfst du damit im Allgemeinen nicht aufspalten.

Häufige Tabelleneinträge mit $ax$ oder $ax+b$

Eine Grundformel taucht oft mit $ax$ oder $ax+b$ im Inneren wieder auf. Falls $a \ne 0$, sind dies häufige direkte Ergebnisse:

Typ	Formel	Bedingung
Potenz mit linearem inneren Term	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
Logarithmusform mit linearem inneren Term	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
Exponentialfunktion mit linearem Exponenten	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
Sinus mit linearem Winkel	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
Kosinus mit linearem Winkel	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

Das sind keine neuen Ideen. Es sind dieselben Standard-Stammfunktionen mit einer Anpassung durch einen konstanten Faktor.

Die Ausnahme zur Potenzregel: $\frac{1}{x}$

Die Potenzregel funktioniert nicht für $n=-1$. Dieser Fall wird zu

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Wenn du versuchst, die Potenzregel trotzdem anzuwenden, wird der Nenner zu $n+1=0$, und das ist nicht erlaubt. Das ist die Standardausnahme, die du dir früh einprägen solltest.

Durchgerechnetes Beispiel: die Tabelle Schritt für Schritt verwenden

Bestimme

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

Jeder Term passt zu einem Standardmuster, aber nicht immer zur einfachsten Grundform.

Verwende die Linearität, um das Integral aufzuspalten:

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

Für den ersten Term verwendest du die Potenzregel:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

Für den zweiten Term verwendest du die Logarithmusform mit einem linearen inneren Ausdruck. Da der Nenner $x+1$ ist, gilt hier $a=1$, also

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

Für den dritten Term verwendest du die Kosinusformel mit linearem Winkel:

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

Fasse die Ergebnisse zusammen:

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

Diese Antwort ist auf Intervallen gültig, auf denen $x \ne -1$ gilt, weil der ursprüngliche Integrand bei $x=-1$ nicht definiert ist.

Die schnellste Kontrolle ist das Ableiten:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

Damit kommst du wieder auf den ursprünglichen Integranden zurück, also ist die Stammfunktion konsistent.

Häufige Fehler bei der Verwendung einer Integraltabelle

• Das falsche Muster zuordnen. Wenn der Integrand ein Produkt wie $xe^x$ oder eine Verkettung wie $\cos(x^2)$ ist, reicht ein direkter Blick in die Tabelle meist nicht aus.
• Den Skalierungsfaktor vergessen. Zum Beispiel gilt $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$ und nicht einfach $\sin(2x) + C$.
• Die Potenzregel auf $\frac{1}{x}$ anwenden. Dieser Fall ist logarithmisch und keine weitere Potenz.
• Das $+C$ weglassen. Ein unbestimmtes Integral beschreibt eine Familie von Stammfunktionen, nicht nur eine einzelne Funktion.

Wann eine Integraltabelle ausreicht

Eine Integraltabelle reicht aus, wenn der Integrand bereits in Standardform vorliegt oder sich in Standardteile zerlegen lässt, nachdem Konstanten ausgeklammert wurden.

Sie reicht nicht aus, wenn die Struktur ein Produkt, einen Quotienten oder einen verschachtelten Ausdruck enthält, der nicht direkt zu einem Tabelleneintrag passt. In solchen Fällen hilft die Tabelle trotzdem, weil sie dir zeigt, welche Form du nach einer Umformung oder Substitution erreichen willst.

Probiere ein ähnliches Integral

Versuche

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

Bevor du rechnest, nenne für jeden Term die passende Formel und notiere, wo ein konstanter Faktor auftaucht. Leite dann dein Ergebnis ab, um es zu überprüfen.