Rumus Integral — Tabel Integral Lengkap

Tabel integral adalah daftar antiturunan standar. Gunakan tabel ini ketika integran sudah sesuai dengan pola yang dikenal, seperti $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$, atau fungsi trigonometri dasar.

Tidak ada tabel berhingga yang benar-benar lengkap untuk setiap integral yang mungkin. Dalam praktiknya, "tabel integral lengkap" berarti rumus-rumus standar yang paling sering dipakai siswa, ditambah penilaian yang cukup untuk mengetahui kapan suatu soal tidak cocok dengan tabel.

Apa yang dibantu oleh tabel integral

Tabel ini terutama merupakan alat untuk mengenali pola. Jika ekspresinya sudah dalam bentuk standar, Anda bisa langsung mengintegralkan. Jika tidak, tabel membantu Anda melihat bahwa Anda mungkin memerlukan metode lain seperti substitusi $u$ atau integral parsial.

Untuk integral tak tentu, tujuannya adalah mencari fungsi $F(x)$ sehingga

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

dengan $F'(x) = f(x)$. Konstanta $C$ diperlukan karena turunan konstanta adalah nol.

Tabel integral dasar yang perlu Anda ketahui

Inilah entri yang biasanya dimaksud orang ketika mereka meminta tabel integral.

Jenis	Rumus	Syarat
Aturan pangkat	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
Kasus logaritmik	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
Eksponensial natural	$\int e^x\,dx = e^x + C$	tidak ada
Eksponensial berbasis $a$	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
Sinus	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	tidak ada
Kosinus	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	tidak ada
Sekan kuadrat	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	pada domain terdefinisi
Kosekan kuadrat	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	pada domain terdefinisi
Kuadratik resiprokal	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	tidak ada
Bentuk invers sinus	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	berlaku pada interval dengan $

Aturan linearitas sama pentingnya dengan entri tunggal mana pun:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Aturan ini memungkinkan Anda memisahkan penjumlahan dan mengeluarkan konstanta. Namun, aturan ini tidak memungkinkan Anda memisahkan hasil kali secara umum.

Entri tabel umum dengan $ax$ atau $ax+b$

Sebuah rumus dasar sering muncul kembali dengan $ax$ atau $ax+b$ di dalamnya. Jika $a \ne 0$, berikut hasil langsung yang umum:

Jenis	Rumus	Syarat
Pangkat dengan suku dalam linear	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
Bentuk logaritmik dengan suku dalam linear	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
Eksponensial dengan eksponen linear	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
Sinus dengan sudut linear	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
Kosinus dengan sudut linear	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

Ini bukan ide baru. Semua ini adalah antiturunan standar yang sama dengan penyesuaian faktor konstanta.

Pengecualian aturan pangkat: $\frac{1}{x}$

Aturan pangkat tidak berlaku untuk $n=-1$. Kasus itu menjadi

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Jika Anda memaksakan aturan pangkat, penyebutnya menjadi $n+1=0$, yang tidak diperbolehkan. Ini adalah pengecualian standar yang layak dihafal sejak awal.

Contoh dikerjakan: menggunakan tabel langkah demi langkah

Tentukan

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

Setiap suku cocok dengan pola standar, meskipun tidak selalu yang paling dasar.

Gunakan linearitas untuk memisahkan integral:

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

Untuk suku pertama, gunakan aturan pangkat:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

Untuk suku kedua, gunakan bentuk logaritmik dengan ekspresi dalam linear. Karena penyebutnya adalah $x+1$, di sini $a=1$, sehingga

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

Untuk suku ketiga, gunakan rumus kosinus dengan sudut linear:

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

Gabungkan hasilnya:

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

Jawaban ini berlaku pada interval dengan $x \ne -1$, karena integran asal tidak terdefinisi di $x=-1$.

Pemeriksaan tercepat adalah dengan diferensiasi:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

Hasil ini kembali ke integran semula, jadi antiturunannya konsisten.

Kesalahan umum saat menggunakan tabel integral

• Mencocokkan pola yang salah. Jika integrannya berupa hasil kali seperti $xe^x$ atau komposisi seperti $\cos(x^2)$, pencarian langsung di tabel biasanya tidak cukup.
• Lupa faktor skala. Misalnya, $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, bukan hanya $\sin(2x) + C$.
• Menggunakan aturan pangkat pada $\frac{1}{x}$. Kasus itu bersifat logaritmik, bukan pangkat biasa.
• Menghilangkan $+C$. Integral tak tentu menyatakan keluarga antiturunan, bukan satu fungsi tunggal.

Kapan tabel integral sudah cukup

Tabel integral sudah cukup ketika integrannya sudah dalam bentuk standar atau dapat dipecah menjadi bagian-bagian standar dengan konstanta dikeluarkan.

Tabel ini tidak cukup ketika strukturnya melibatkan hasil kali, hasil bagi, atau ekspresi bertingkat yang tidak langsung cocok dengan entri tabel. Dalam kasus seperti itu, tabel tetap membantu karena menunjukkan bentuk yang ingin Anda capai setelah penulisan ulang atau substitusi.

Coba integral serupa

Coba

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

Sebelum menghitung, sebutkan rumus yang cocok untuk setiap suku dan perhatikan di mana faktor konstanta muncul. Lalu diferensiasikan hasil Anda untuk memeriksanya.