Transformada de Laplace — Tabla y propiedades

Una tabla de transformadas de Laplace te da los pares estándar que se usan con más frecuencia, como $1 \mapsto 1/s$, $e^{at} \mapsto 1/(s-a)$ y $\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$. Es la forma más rápida de resolver problemas comunes de transformada de Laplace sin volver a calcular cada vez la integral de definición.

En la mayoría de los cursos de cálculo, ecuaciones diferenciales e ingeniería, la opción por defecto es la transformada de Laplace unilateral para $t \ge 0$:

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

Aquí $s$ suele ser una variable compleja, y la fórmula solo tiene sentido donde la integral converge.

El procedimiento es simple: haz coincidir la función con una fila de la tabla y luego usa un pequeño conjunto de propiedades para sumas, desplazamientos o derivadas.

Tabla de transformadas de Laplace: pares comunes

Las entradas de abajo suponen la transformada unilateral. La condición de convergencia es parte de la respuesta, no un detalle opcional.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	Condición
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$ es un entero no negativo, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	para $a$ real, $\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	para $a$ real, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	para $a$ real, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	para $a$ real, $\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	para $a$ real, $\operatorname{Re}(s) >

Si solo recuerdas unas pocas filas, recuerda $1$, $e^{at}$, $\sin(at)$ y $\cos(at)$. Muchos problemas de libro se reducen a esas filas más una propiedad.

Propiedades de la transformada de Laplace que realmente usas

La tabla obtiene casi toda su utilidad de unas pocas reglas. Estas son las que los estudiantes usan una y otra vez.

Linealidad

Si las transformadas existen, entonces

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Esto es lo que te permite separar una suma en partes más pequeñas.

Desplazamiento exponencial en el tiempo

Si $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$, entonces

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Esta es la propiedad detrás de muchas búsquedas en tabla. Multiplicar por una exponencial en $t$ desplaza la expresión en $s$.

Regla de la derivada

Bajo las hipótesis habituales para la transformada unilateral,

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Por eso las transformadas de Laplace son tan útiles para los problemas de valor inicial: la derivada se convierte en álgebra más el valor inicial.

Multiplicación por $t$

Si $F(s)$ es derivable en la región que necesitas, entonces

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

Esto ayuda cuando la función en el dominio del tiempo tiene un factor $t$ multiplicando algo más simple.

Por qué funciona una tabla de transformadas de Laplace

El núcleo $e^{-st}$ convierte crecimiento, decaimiento y oscilación en el dominio del tiempo en expresiones algebraicas en $s$. Eso importa porque el álgebra suele ser más fácil de manipular que las derivadas o las integrales.

Así que la tabla no es solo algo para memorizar. Es una herramienta de reconocimiento de patrones: una vez que el patrón está claro, el cálculo a menudo se reduce a una sola línea.

Ejemplo resuelto: $\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

Halla la transformada de Laplace de

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

Empieza con la entrada base de la tabla

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

Ahora usa la propiedad de desplazamiento exponencial. Como $e^{-2t}$ significa $a=-2$, sustituye $s$ por $s+2$:

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

Para esta transformada, la condición pasa a ser $\operatorname{Re}(s) > -2$.

Ese es todo el cálculo. Una vez que conoces el par base y la regla de desplazamiento, no hace falta volver a la integral.

Errores comunes con una tabla de transformadas de Laplace

1. Confundir el signo en la regla de desplazamiento. Para $e^{at}f(t)$ el resultado es $F(s-a)$, así que para $e^{-2t}f(t)$ obtienes $F(s+2)$.
2. Ignorar las condiciones de convergencia. Por ejemplo, para $a$ real, $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ necesita $\operatorname{Re}(s) > a$.
3. Olvidar el valor inicial en la fórmula de la derivada. $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ no es solo $sF(s)$.
4. Usar una entrada de la tabla que casi coincide, pero no exactamente. Un pequeño cambio de signo o de desplazamiento puede cambiar por completo la respuesta.
5. Mezclar transformadas de Laplace unilaterales y bilaterales. La mayoría de las tablas introductorias usan la versión unilateral que empieza en $t=0$.

Cuándo es útil una tabla de transformadas de Laplace

Las tablas de Laplace son más útiles cuando el problema está planteado para $t \ge 0$ y las condiciones iniciales importan.

• En ecuaciones diferenciales, convierten derivadas en términos algebraicos y hacen más fáciles de resolver los problemas de valor inicial.
• En circuitos y control, ayudan a analizar entradas, salidas y funciones de transferencia.
• En señales y sistemas, describen decaimiento, oscilación y respuesta del sistema de forma compacta.

La condición de convergencia sigue importando aquí. Si la transformada no converge en la región que necesitas, la entrada de la tabla por sí sola no basta.

Transformada inversa de Laplace: leer la tabla al revés

La misma tabla se usa para transformadas inversas de Laplace. Si ves

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

puedes reconocerlo como el patrón de coseno desplazado y leerlo al revés como

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

Esa suele ser la vía más rápida en ejemplos resueltos: primero identifica el patrón y luego justifícalo con la tabla y la regla de desplazamiento.

Prueba un problema parecido

Intenta hallar la transformada de

$$e^{4t}\sin(2t)$$

Empieza con la fila del seno en la tabla y luego aplica el desplazamiento con cuidado. Si quieres un paso más después de eso, prueba tu propia versión con $e^{-t}\sin(5t)$ y compara cómo el signo cambia el desplazamiento.