Fórmulas de Integração — Tabela Completa de Integrais

Uma tabela de integrais é uma lista de antiderivadas padrão. Use-a quando o integrando já corresponde a um padrão conhecido, como $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$ ou uma função trigonométrica básica.

Nenhuma tabela finita é literalmente completa para toda integral possível. Na prática, uma "tabela completa de integrais" significa as fórmulas padrão que os estudantes mais usam, além de critério suficiente para perceber quando um problema não se encaixa na tabela.

Para que serve uma tabela de integrais

A tabela é principalmente uma ferramenta de reconhecimento de padrões. Se a expressão já está em uma forma padrão, você pode integrar diretamente. Se não está, a tabela ajuda a perceber que provavelmente será necessário outro método, como substituição $u$ ou integração por partes.

Para integrais indefinidas, o objetivo é encontrar uma função $F(x)$ tal que

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

onde $F'(x) = f(x)$. A constante $C$ é necessária porque a derivada de uma constante é zero.

Tabela básica de integrais que você deve conhecer

Estas são as entradas que as pessoas geralmente querem dizer quando pedem uma tabela de integrais.

Tipo	Fórmula	Condição
Regra da potência	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
Caso logarítmico	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
Exponencial natural	$\int e^x\,dx = e^x + C$	nenhuma
Exponencial de base $a$	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
Seno	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	nenhuma
Cosseno	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	nenhuma
Secante ao quadrado	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	onde definida
Cossecante ao quadrado	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	onde definida
Quadrática recíproca	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	nenhuma
Forma do arco seno	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	válida em intervalos com $

A regra da linearidade é tão importante quanto qualquer entrada isolada:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Isso permite separar somas e colocar constantes para fora. Em geral, isso não permite separar um produto.

Entradas comuns da tabela com $ax$ ou $ax+b$

Uma fórmula básica muitas vezes reaparece com $ax$ ou $ax+b$ dentro dela. Se $a \ne 0$, estes são resultados diretos comuns:

Tipo	Fórmula	Condição
Potência com termo interno linear	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
Forma logarítmica com termo interno linear	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
Exponencial com expoente linear	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
Seno com ângulo linear	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
Cosseno com ângulo linear	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

Essas não são ideias novas. São as mesmas antiderivadas padrão com um ajuste por fator constante.

A exceção da regra da potência: $\frac{1}{x}$

A regra da potência não funciona para $n=-1$. Esse caso se torna

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Se você tentar forçar a regra da potência, o denominador vira $n+1=0$, o que não é permitido. Essa é a exceção padrão que vale a pena memorizar desde cedo.

Exemplo resolvido: usando a tabela passo a passo

Encontre

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

Cada termo corresponde a um padrão padrão, mas nem sempre ao mais básico.

Use a linearidade para separar a integral:

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

Para o primeiro termo, use a regra da potência:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

Para o segundo termo, use a forma logarítmica com uma expressão interna linear. Como o denominador é $x+1$, aqui $a=1$, então

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

Para o terceiro termo, use a fórmula do cosseno com ângulo linear:

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

Juntando os resultados:

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

Essa resposta é válida em intervalos onde $x \ne -1$, porque o integrando original não está definido em $x=-1$.

A verificação mais rápida é derivar:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

Isso leva de volta ao integrando original, então a antiderivada está consistente.

Erros comuns ao usar uma tabela de integrais

• Identificar o padrão errado. Se o integrando é um produto como $xe^x$ ou uma composição como $\cos(x^2)$, uma consulta direta à tabela geralmente não basta.
• Esquecer o fator de escala. Por exemplo, $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, e não apenas $\sin(2x) + C$.
• Usar a regra da potência em $\frac{1}{x}$. Esse caso é logarítmico, não outra potência.
• Omitir o $+C$. Uma integral indefinida representa uma família de antiderivadas, não uma única função.

Quando uma tabela de integrais é suficiente

Uma tabela de integrais é suficiente quando o integrando já está na forma padrão ou pode ser separado em partes padrão com as constantes colocadas para fora.

Ela não é suficiente quando a estrutura envolve um produto, quociente ou expressão aninhada que não corresponde diretamente a uma entrada da tabela. Nesses casos, a tabela ainda ajuda porque mostra qual forma você está tentando alcançar depois de uma reescrita ou substituição.

Tente uma integral parecida

Tente

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

Antes de calcular, diga qual fórmula corresponde a cada termo e observe onde aparece um fator constante. Depois, derive seu resultado para verificar.