İntegral Formülleri — Tam İntegral Tablosu

İntegral tablosu, standart belirsiz integrallerin bir listesidir. İntegrand zaten $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$ ya da temel bir trigonometrik fonksiyon gibi bilinen bir kalıpla eşleşiyorsa bunu kullanırsınız.

Hiçbir sonlu tablo, olası her integral için kelimenin tam anlamıyla tam değildir. Uygulamada “tam integral tablosu”, öğrencilerin en sık kullandığı standart formüller ve bir sorunun tabloyla eşleşmediğini anlayacak kadar muhakeme demektir.

İntegral tablosu ne işe yarar?

Tablo esas olarak bir örüntü tanıma aracıdır. İfade zaten standart bir biçimdeyse integrali doğrudan alabilirsiniz. Değilse tablo, muhtemelen $u$-değişken dönüşümü ya da parçalı integrasyon gibi başka bir yönteme ihtiyaç duyduğunuzu görmenize yardımcı olur.

Belirsiz integrallerde amaç, öyle bir $F(x)$ fonksiyonu bulmaktır ki

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

burada $F'(x) = f(x)$ olur. Sabit $C$ gereklidir çünkü sabitlerin türevi sıfırdır.

Bilmeniz gereken temel integral tablosu

İnsanlar integral tablosu istediğinde genellikle kastettikleri girişler bunlardır.

Tür	Formül	Koşul
Kuvvet kuralı	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
Logaritmik durum	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
Doğal üstel	$\int e^x\,dx = e^x + C$	yok
Tabanı $a$ olan üstel	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
Sinüs	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	yok
Kosinüs	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	yok
Sekant karesi	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	tanımlı olduğu yerde
Kosekant karesi	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	tanımlı olduğu yerde
Ters kuadratik	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	yok
Ters sinüs biçimi	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	$

Doğrusallık kuralı da herhangi bir tekil giriş kadar önemlidir:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Bu, toplamları ayırmanıza ve sabitleri dışarı almanıza izin verir. Genel olarak bir çarpımı ayırmanıza izin vermez.

İçinde $ax$ veya $ax+b$ bulunan yaygın tablo girişleri

Temel bir formül çoğu zaman içinde $ax$ ya da $ax+b$ ile yeniden karşınıza çıkar. Eğer $a \ne 0$ ise bunlar yaygın doğrudan sonuçlardır:

Tür	Formül	Koşul
İçte lineer terimli kuvvet	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
İçte lineer terimli logaritmik biçim	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
Lineer üstlü üstel	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
Lineer açılı sinüs	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
Lineer açılı kosinüs	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

Bunlar yeni fikirler değildir. Aynı standart belirsiz integrallerin sabit çarpanla düzeltilmiş hâlleridir.

Kuvvet kuralının istisnası: $\frac{1}{x}$

Kuvvet kuralı $n=-1$ için çalışmaz. Bu durumda

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

olur.

Kuvvet kuralını zorla uygularsanız payda $n+1=0$ olur; buna izin verilmez. Bu, erken dönemde ezberlenmeye değer standart istisnadır.

Çözümlü örnek: tabloyu adım adım kullanma

Bulun:

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

Her terim standart bir kalıpla eşleşir, ama her zaman en basit temel olanla değil.

İntegrali doğrusallıkla ayırın:

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

İlk terim için kuvvet kuralını kullanın:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

İkinci terim için içte lineer ifade bulunan logaritmik biçimi kullanın. Payda $x+1$ olduğundan burada $a=1$, dolayısıyla

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

Üçüncü terim için lineer açılı kosinüs formülünü kullanın:

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

Sonuçları birleştirin:

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

Bu cevap, $x \ne -1$ olan aralıklarda geçerlidir; çünkü başlangıçtaki integrand $x=-1$ için tanımsızdır.

En hızlı kontrol türev almaktır:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

Bu sizi başlangıçtaki integranda geri götürür; dolayısıyla bulunan belirsiz integral tutarlıdır.

İntegral tablosu kullanırken sık yapılan hatalar

• Yanlış kalıpla eşleştirmek. İntegrand $xe^x$ gibi bir çarpım ya da $\cos(x^2)$ gibi bir bileşik ifade ise doğrudan tabloya bakmak genellikle yeterli olmaz.
• Ölçekleme çarpanını unutmak. Örneğin, $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$ olur; sadece $\sin(2x) + C$ değil.
• $\frac{1}{x}$ için kuvvet kuralını kullanmak. Bu durum logaritmiktir, başka bir kuvvet durumu değildir.
• $+C$ sabitini yazmamak. Belirsiz integral tek bir fonksiyonu değil, bir belirsiz integral ailesini temsil eder.

İntegral tablosu ne zaman yeterlidir?

İntegrand zaten standart biçimdeyse ya da sabitler dışarı alınarak standart parçalara ayrılabiliyorsa integral tablosu yeterlidir.

Yapı, doğrudan bir tablo girişine uymayan bir çarpım, bölüm ya da iç içe ifade içeriyorsa yeterli değildir. Böyle durumlarda da tablo işe yarar; çünkü yeniden yazma ya da değişken dönüşümünden sonra hangi biçime ulaşmaya çalıştığınızı gösterir.

Benzer bir integral deneyin

Şunu deneyin:

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

Hesaplamaya başlamadan önce her terim için eşleşen formülü söyleyin ve sabit çarpanın nerede ortaya çıktığını not edin. Sonra sonucu kontrol etmek için türev alın.