Integración — Reglas y ejemplos

La integración significa encontrar una antiderivada o acumular cambio. En la mayoría de los primeros problemas de cálculo, “integra esta función” significa: encontrar una función cuya derivada sea el integrando.

Para una integral indefinida,

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

significa que $F'(x) = f(x)$. El $+C$ importa porque dos antiderivadas de una misma función pueden diferir en una constante.

Si la integral tiene límites, como $\int_a^b f(x)\,dx$, describe la acumulación neta en el intervalo $[a,b]$. En geometría, eso suele representar el área con signo. En aplicaciones, puede representar una cantidad que se va acumulando con el tiempo.

¿Qué regla de integración deberías probar primero?

Empieza observando la forma del integrando.

• Si el integrando es una suma o una resta, integra término a término.
• Si hay un múltiplo constante, saca la constante fuera de la integral.
• Si la expresión coincide con un patrón estándar, usa la regla de antiderivación correspondiente.
• Si el integrando es un producto, un cociente o una composición, puede que una regla básica no sea suficiente.

Esto importa porque integrar es menos mecánico que derivar. No existe una sola regla que resuelva directamente cualquier expresión.

Reglas básicas de integración que debes conocer

Regla del múltiplo constante y de la suma

Si $a$ y $b$ son constantes, entonces:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Por eso funciona la integración término a término.

Regla de la potencia

Si $n \ne -1$, entonces:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Ejemplo: $\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5} + C$.

El caso especial $\int \frac{1}{x}\,dx$

Cuando el exponente es $-1$, la regla de la potencia no se aplica. En su lugar,

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

El valor absoluto importa porque $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ para $x \ne 0$.

Antiderivadas estándar comunes

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

Conviene reconocerlas a simple vista porque aparecen con frecuencia en los primeros ejercicios de integración.

Por qué la integración se siente como invertir la derivación

La derivación pregunta: “¿Cómo está cambiando esta función en este instante?”. La integración plantea la pregunta inversa: “¿Qué función pudo haber producido esta tasa de cambio?”.

Por eso es tan útil comprobar una integral derivando tu respuesta. Si la derivada te devuelve al integrando original, la antiderivada es correcta.

Ejemplo de integración: combinar tres reglas básicas

Calcula

$$\int \left(4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x\right)\,dx$$

Esto es una suma, así que integra cada término por separado.

Para el primer término, usa la regla de la potencia:

$$\int 4x^3\,dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$$

Para el segundo término, usa el caso especial del logaritmo:

$$\int -\frac{6}{x}\,dx = -6\ln|x|$$

Para el tercer término, usa la regla trigonométrica estándar:

$$\int 2\cos x\,dx = 2\sin x$$

Ahora combina los resultados:

$$\int \left(4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x\right)\,dx = x^4 - 6\ln|x| + 2\sin x + C$$

Comprueba derivando:

$$\frac{d}{dx}\left(x^4 - 6\ln|x| + 2\sin x + C\right) = 4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x$$

Esta comprobación es especialmente útil para detectar signos incorrectos y constantes olvidadas.

Errores comunes en integración

1. Olvidar el $+C$ en una integral indefinida.
2. Usar la regla de la potencia para $x^{-1}$. Ese caso es $\ln|x| + C$, no una respuesta de la regla de la potencia.
3. Separar un producto como si $\int f(x)g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \int g(x)\,dx$. En general, eso es falso.
4. Copiar una regla de derivación al revés sin comprobar el signo. Por ejemplo, $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$.

Cuándo se usan las integrales definidas

La integración aparece siempre que una cantidad se construye a partir de muchos cambios pequeños.

• En geometría, una integral definida puede representar el área con signo bajo una curva.
• En física, integrar la velocidad da el desplazamiento en un intervalo.
• En economía o ingeniería, la integración puede modelar costo acumulado, crecimiento o flujo.

La condición importa. Por ejemplo, si la velocidad cambia de signo, integrar la velocidad da el desplazamiento neto, no la distancia total.

Cuándo las reglas básicas dejan de funcionar

Las reglas básicas funcionan bien cuando el integrando ya coincide con un patrón conocido. Si no coincide, puede que necesites sustitución, integración por partes u otra técnica.

Ese es un buen punto para detenerse: si una fórmula no encaja claramente, no la fuerces.

Prueba una integral similar

Intenta

$$\int \left(5x^2 + \frac{3}{x} - 4\sin x\right)\,dx$$

Luego deriva tu respuesta para comprobarla. Si puedes explicar por qué el término del medio se convierte en un logaritmo, entiendes la excepción clave a la regla de la potencia.